已知橢圓C：數(shù)學(xué)公式（a＞b＞0）的離心率為數(shù)學(xué)公式，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線y=x與橢圓C在第一象限相交于點(diǎn)A，試探究在橢圓C上存在多少個(gè)點(diǎn)B，使△OAB為等腰三角形．（簡(jiǎn)要說明理由，不必求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)）

解：（1）由于短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為3，則a=3…（1分），
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/110242.png' />…（2分），所以…（3分），
所以b2=a2-c2=9-6=3…（4分），
所以橢圓C的方程為：…（5分）
（2）直線方程與橢圓方程聯(lián)立（x＞0），解得，即…（6分）
以O(shè)為頂點(diǎn)的等腰三角形△OAB有兩個(gè)，此時(shí)B為A關(guān)于x軸或y軸的對(duì)稱點(diǎn)…（8分），
以A為頂點(diǎn)的等腰三角形△OAB有兩個(gè)（9分），此時(shí)B為以A為圓心、AO為半徑的圓弧與橢圓C的交點(diǎn)…（10分），
以AO為底邊的等腰三角形△OAB有兩個(gè)（11分），此時(shí)B為AO的垂直平分線與橢圓C的交點(diǎn)…（12分）．
因?yàn)橹本�y=x傾斜角為，所以以上等腰△OAB不可能是等邊三角形…（13分），
即以上6個(gè)三角形互不相同，存在6個(gè)點(diǎn)B，使△OAB為等腰三角形…（14分）．
分析：（1）根據(jù)橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為3，確定a，c，利用b2=a2-c2，求出b2，從而可以求橢圓C的方程；
（2）直線方程與橢圓方程聯(lián)立，確定A的坐標(biāo)，進(jìn)而分類討論，探究橢圓C上存在的點(diǎn)B，使△OAB為等腰三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查學(xué)生的探究能力，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．
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已知橢圓C： （a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1（-1，0）、F2（1，0），離心率為．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知一直線l過橢圓C的右焦點(diǎn)F2，交橢圓于點(diǎn)A、B．
（�。┤魸M足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求△AOB的面積；
（ⅱ）當(dāng)直線l與兩坐標(biāo)軸都不垂直時(shí)，在x軸上是否總存在一點(diǎn)P，使得直線PA、PB的傾斜角互為補(bǔ)角？若存在，求出P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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（13分）已知橢圓C：（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)．

（I）求橢圓C的離心率：

（II）設(shè)過點(diǎn)A（0，2）的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段MN上的點(diǎn)，且，求點(diǎn)Q的軌跡方程．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆甘肅武威六中高二12月學(xué)段檢測(cè)文科數(shù)學(xué)試題（解析版） 題型：解答題

（12分）已知橢圓C：（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)為A（2,0），離心率為，直線y=k（x-1）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M、N.

 ①求橢圓C的方程.

 ②當(dāng)⊿AMN的面積為時(shí)，求k的值.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年江西省高三第七次月考理科數(shù)學(xué) 題型：解答題

已知橢圓C：+=1(a＞b＞0)，直線y=x+與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其左、右焦點(diǎn)，P為橢圓C上任一點(diǎn)，△F1PF2的重心為G，內(nèi)心為I，且IG∥F1F2。⑴求橢圓C的方程。⑵若直線L：y=kx+m(k≠0)與橢圓C交于不同兩點(diǎn)A，B且線段AB的垂直平分線過定點(diǎn)C(，0)求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年浙江省高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)文卷 題型：選擇題

已知橢圓C：（a>b>0）的離心率為，過右焦點(diǎn)F且斜率為k（k>0）的直線與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，若。則 （    ） 

（A）1     （B）2      （C）      （D）

 

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