解:(1)當m=0時,函數(shù)f(x)=-2x+3+lnx
由題意知x>0,f′(x)=-2+
=
,令f′(x)>0,得0<x<
時,
所以f(x)的增區(qū)間為(0,
).
(2)由f′(x)=mx-m-2+
,得f′(1)=-1,
知曲線y=f(x)在點P(1,1)處的切線l的方程為y=-x+2,
于是方程:-x+2=f(x)即方程
m(x-1)
2-x+1+lnx=0有且只有一個實數(shù)根;
設(shè)g(x)=
m(x-1)
2-x+1+lnx,(x>0).
則g′(x)=
=
,
①當m=1時,g′(x)=
≥0,g(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),且g(1)=0,故m=1符合題設(shè);
②當m>1時,由g′(x)>0得0<x<
或x>1,
由g′(x)=
<0得
<x<1,
故g(x)在區(qū)間(0,
),(1,+∞)上單調(diào)遞增,在( 1,
)區(qū)間單調(diào)遞減,
又g(1)=0,且當x→0時,g(x)→-∞,此時曲線y=g(x)與x軸有兩個交點,故m>1不合題意;
③當0<m<1時,由g′(x)=
>0得0<x<1或x>
,
由g′(x)=<0得1<x<
,
故g(x)在區(qū)間(0,1),(1,
)上單調(diào)遞增,在(
,+∞)區(qū)間單調(diào)遞減,
又g(1)=0,且當x→0時,g(x)→+∞,此時曲線y=g(x)與x軸有兩個交點,故0<m<1不合題意;
∴由上述知:m=1.
分析:(1)求出f′(x),在定義域內(nèi)解不等式f′(x)>0,即得f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)先求切線方程為y=-x+2,再由切線L與C有且只有一個公共點,轉(zhuǎn)化為
m(x-1)
2-x+1+lnx=0有且只有一個實數(shù)解,從而可求實數(shù)m的范圍.
點評:本題考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查分析問題解決問題的能力,考查轉(zhuǎn)化思想.