已知函數(shù)f(x)=數(shù)學(xué)公式m(x-1)2-2x+3+lnx,m∈R.
(1)當m=0時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)當m>0時,若曲線y=f(x)在點P(1,1)處的切線l與曲線y=f(x)有且只有一個公共點,求實數(shù)m的值.

解:(1)當m=0時,函數(shù)f(x)=-2x+3+lnx
由題意知x>0,f′(x)=-2+=,令f′(x)>0,得0<x<時,
所以f(x)的增區(qū)間為(0,).
(2)由f′(x)=mx-m-2+,得f′(1)=-1,
知曲線y=f(x)在點P(1,1)處的切線l的方程為y=-x+2,
于是方程:-x+2=f(x)即方程 m(x-1)2-x+1+lnx=0有且只有一個實數(shù)根;
設(shè)g(x)=m(x-1)2-x+1+lnx,(x>0).
則g′(x)==,
①當m=1時,g′(x)=≥0,g(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),且g(1)=0,故m=1符合題設(shè);
②當m>1時,由g′(x)>0得0<x<或x>1,
由g′(x)=<0得<x<1,
故g(x)在區(qū)間(0,),(1,+∞)上單調(diào)遞增,在( 1,)區(qū)間單調(diào)遞減,
又g(1)=0,且當x→0時,g(x)→-∞,此時曲線y=g(x)與x軸有兩個交點,故m>1不合題意;
③當0<m<1時,由g′(x)=>0得0<x<1或x>,
由g′(x)=<0得1<x<,
故g(x)在區(qū)間(0,1),(1,)上單調(diào)遞增,在(,+∞)區(qū)間單調(diào)遞減,
又g(1)=0,且當x→0時,g(x)→+∞,此時曲線y=g(x)與x軸有兩個交點,故0<m<1不合題意;
∴由上述知:m=1.
分析:(1)求出f′(x),在定義域內(nèi)解不等式f′(x)>0,即得f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)先求切線方程為y=-x+2,再由切線L與C有且只有一個公共點,轉(zhuǎn)化為m(x-1)2-x+1+lnx=0有且只有一個實數(shù)解,從而可求實數(shù)m的范圍.
點評:本題考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查分析問題解決問題的能力,考查轉(zhuǎn)化思想.
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1
x
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1
x
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a
4x
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已知函數(shù)f(x)=
m
n
,其中
m
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3
cosωx)
,
n
=(cosωx-sinωx,2sinωx),其中ω>0,若f(x)相鄰兩對稱軸間的距離不小于
π
2

(Ⅰ)求ω的取值范圍;
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3
,b+c=3,當ω最大時,f(A)=1,求△ABC的面積.

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以下兩題任選一題:(若兩題都作,按第一題評分)
(一):在極坐標系中,圓ρ=2cosθ的圓心到直線θ=
π
3
(ρ∈R)的距離
3
2
3
2
;
(二):已知函數(shù)f(x)=m-|x-2|,m∈R,當不等式f(x+2)≥0的解集為[-2,2]時,實數(shù)m的值為
2
2

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已知函數(shù)f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集為[-1,1].
(1)求m的值;
(2)若a,b,c∈R+,且
1
a
+
1
2b
+
1
3c
=m,求Z=a+2b+3c的最小值.

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