【題目】已知四棱錐P﹣ABCD的底面為直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PA⊥底面 ABCD,且PA=AD=DB= ,AB=1,M是PB的中點.
(1)證明:面PAD⊥面PCD;
(2)求AC與PB所成的角;
(3)求平面AMC與平面BMC所成二面角的大小.
【答案】
(1)證明:∵PA⊥面ABCD,CD⊥AD,
∴由三垂線定理得:CD⊥PD.
因而,CD與面PAD內(nèi)兩條相交直線AD,PD都垂直,
∴CD⊥面PAD.
又CD面PCD,∴面PAD⊥面PCD
(2)解:過點B作BE∥CA,且BE=CA,則∠PBE是AC與PB所成的角.
連接AE,可知AC=CB=BE=AE= ,
又AB=2,所以四邊形ACBE為正方形.
由PA⊥面ABCD,得∠PEB=90°
在Rt△PEB中,BE=a2=3b2,PB= ,
∴cos∠PBE= = .
∴AC與PB所成的角為arccos
(3)證明:作AN⊥CM,垂足為N,連接BN.
在Rt△PAB中,AM=MB,又AC=CB,
∴△AMC≌△BMC,
∴BN⊥CM,故∠ANB為所求二面角的平面角
∵CB⊥AC,
由三垂線定理,得CB⊥PC,
在Rt△PCB中,CM=MB,所以CM=AM.
在等腰三角形AMC中,ANMC= AC,
∴AN= .∴AB=2,
∴cos∠ANB= =﹣ ,
故平面AMC與平面BMC所成二面角的大小為arccos(﹣ ).
【解析】(1)由三垂線定理得CD⊥PD,從而CD⊥面PAD,再由CD面PCD,能證明面PAD⊥面PCD. (2)過點B作BE∥CA,且BE=CA,則∠PBE是AC與PB所成的角. 連接AE,推導出四邊形ACBE為正方形,由此能求出AC與PB所成的角.(3)作AN⊥CM,垂足為N,連接BN,則∠ANB為所求二面角的平面角,由此能求出平面AMC與平面BMC所成二面角的大。
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解異面直線及其所成的角的相關(guān)知識,掌握異面直線所成角的求法:1、平移法:在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點,作另一條的平行線;2、補形法:把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體,如正方體、平行六面體、長方體等,其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系,以及對平面與平面垂直的判定的理解,了解一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】非空集合A中的元素個數(shù)用(A)表示,定義(A﹣B)= ,若A={﹣1,0},B={x||x2﹣2x﹣3|=a},且(A﹣B)≤1,則a的所有可能值為( )
A.{a|a≥4}
B.{a|a>4或a=0}
C.{a|0≤a≤4}
D.{a|a≥4或a=0}
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【題目】若全集U=R,函數(shù)y= + 的定義域為A,函數(shù)y= 的值域為B.
(1)求集合A,B;
(2)求(UA)∩(UB).
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【題目】下列各組函數(shù)中不表示同一函數(shù)的是( )
A.f(x)=lgx2 , g(x)=2lg|x|
B.f(x)=x,g(x)=
C.f(x)= ,g(x)=
D.f(x)=|x+1|,g(x)=
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【題目】已知圓, 在拋物線上,圓過原點且與的準線相切.
(Ⅰ) 求的方程;
(Ⅱ) 點,點(與不重合)在直線上運動,過點作的兩條切線,切點分別為, .求證: (其中為坐標原點).
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【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)的長軸是短軸的兩倍,點P( , )在橢圓上,不過原點的直線l與橢圓相交于A、B兩點,設直線OA、l、OB的斜率分別為k1、k、k2 , 且k1、k、k2恰好構(gòu)成等比數(shù)列,記△AOB的面積為S.
(1)求橢圓C的方程;
(2)試判斷|OA|2+|OB|2是否為定值?若是,求出這個值;若不是,請說明理由?
(3)求△AOB面積S的取值范圍.
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【題目】某校屆高三文(1)班在一次數(shù)學測驗中,全班名學生的數(shù)學成績的頻率分布直方圖如下,已知分數(shù)在的學生數(shù)有人.
(1)求總?cè)藬?shù)和分數(shù)在的人數(shù);
(2)利用頻率分布直方圖,估算該班學生數(shù)學成績的眾數(shù)和中位數(shù)各是多少?
(3)現(xiàn)在從比分數(shù)在名學生(男女生比例為)中任選人,求其中至多含有名男生的概率.
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