【題目】在四棱錐中,底面為平行四邊形, , , 點(diǎn)在底面內(nèi)的射影在線(xiàn)段上,且, , 的中點(diǎn), 在線(xiàn)段上,且

(Ⅰ)當(dāng)時(shí),證明:平面平面;

(Ⅱ)當(dāng)平面與平面所成的二面角的正弦值為時(shí),求四棱錐的體積.

【答案】(Ⅰ)見(jiàn)解析;(Ⅱ).

【解析】試題分析:(Ⅰ)接,作于點(diǎn),則四邊形為平行四邊形,在中由余弦定理得,由勾股定理可得,在中, , 分別是, 的中點(diǎn),結(jié)合中位線(xiàn)及平行的傳遞性可得,故可得平面,由線(xiàn)面平行判定定理可得結(jié)論;(Ⅱ)以為坐標(biāo)原點(diǎn), , , 所在直線(xiàn)分別為軸, 軸, 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量與二面角平面角之間關(guān)系可得: ,由棱錐的體積公式可得結(jié)果.

試題解析:(Ⅰ)證明:連接,作于點(diǎn),則四邊形為平行四邊形,

,在中, , ,由余弦定理得. 

所以,從而有.

中, , 分別是, 的中點(diǎn),

,

因?yàn)?/span>,所以.

平面, 平面,

,又,

平面,又平面,

所以平面平面.

(Ⅱ)以為坐標(biāo)原點(diǎn), , 所在直線(xiàn)分別為軸, 軸, 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則 , , , .

平面的一個(gè)法向量為.

設(shè)平面的法向量為,

, ,得,得.

由題意可得, ,

解得,

所以四棱錐的體積.

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