Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x+1），h(x)=

x

x+1

，設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹（n∈N*）．
（1）當x＞0時，比較f（x）和h（x）的大��；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）令cn=(-1)n+1log

an

n+1

2，數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，求證：當n∈N*且n≥2時，T_2n＜

2

2

．

Answer 1

分析：（1）構造函數(shù)g(x)=ln(x+1)-

x

x+1

(x＞0)，求導，求函數(shù)的單調(diào)性和最值；（2）根據(jù)S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹及an=

s1，n=1 sn-sn-1，n≥2

，可求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）把（2）求得的結果代入cn=(-1)n+1log

an

n+1

2，求得cn=(-1)n+1•

1

n

，∴T2n=1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2n-1

-

1

2n

進行變形，利用（1）的結論即可證明不等式．

解答：解（1）令g(x)=ln(x+1)-

x

x+1

(x＞0)，則g′(x)=

1

x+1

-

1

(x+1)2

=

x

(x+1)2

＞0，
∴g（x）在（0，+∞）時單調(diào)遞增，g（x）＞g（0）=0，即當x＞0時，ln(x+1)＞

x

x+1

即當x＞0時，f（x）＞h（x），
（2）由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，得S_n-1=2a_n-1-2ⁿ（n≥2）．
兩式相減，得a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ，即a_n-2a_n-1=2ⁿ（n≥2）．
于是

an

2n

-

an-1

2n-1

=1，所以數(shù)列{

an

2n

}是公差為1的等差數(shù)列．
又S₁=2a₁-2²，所以a₁=4．
所以

an

2n

=2+(n-1)=n+1，故a_n=（n+1）•2ⁿ．
（3）因為cn=(-1)n+1•

1

n

，
則當n≥2時，T2n=1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2n-1

-

1

2n

=(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n

)-2(

1

2

+

1

4

+…+

1

2n

)=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

．
下面證

1

n+1

+

1

n+2

++

1

2n

＜

2

2

由（1）知當x＞0時，ln(x+1)＞

x

x+1

令x=

1

n

，ln

n+1

n

＞

1

n+1

?ln(n+1)-lnn＞

1

n+1

，ln(n+2)-ln(n+1)＞

1

n+2

，
，ln(n+3)-ln(n+2)＞

1

n+3

，ln(2n)-ln(2n-1)＞

1

2n

以上n個式相加，即有ln(2n)-lnn＞

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

∴

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＜ln(2n)-lnn=ln2＜

2

2

．

點評：此題是個難題．考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式利用構造法求數(shù)列的通項公式，及數(shù)列的求和問題，題目綜合性強，特別是問題（3）的設置，數(shù)列與不等式恒成立問題結合起來，能有效考查學生的邏輯思維能力和靈活應用知識分析解決問題的能力，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想和分類討論的思想．