Question

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為棱BC的中點(diǎn)．
（1）求異面直線BD₁與DE所成角的大小；
（2）F是CD的中點(diǎn)，求三棱錐C₁-AEF的體積．

Answer 1

分析：（1）分別以AB，AD，AA₁為x，y，z軸建立空間坐標(biāo)系，寫出B、D₁、D、E的坐標(biāo)，求出

BD1

與

DE

的坐標(biāo)，利用夾角公式即可求出異面直線BD₁與DE所成角的大小
（2）先計(jì)算三棱錐C₁-AEF的底面積即三角形AEF的面積，再計(jì)算三棱錐C₁-AEF的高，即CC₁的長，最后利用三棱錐體積公式即可求出求三棱錐C₁-AEF的體積

解答：解：（1）分別以AB，AD，AA₁為x，y，z軸建立空間坐標(biāo)系如圖，
則A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1， 0)，D1(0，1，1)，E(1，

1

2

，0)

DE

=(1，-

1

2

，0)，

BD1

=(-1，1，1)，⇒|

DE

|=

5

2

，|

BD1

|=

3

，

DE

•

BD1

=-

3

2

由 cosθ=

DE • BD1

| DE |•| BD1 |

=

- 3 2

5 2 • 3

=-

15

5

∴異面直線BD₁與DE所成角為arccos

15

5

．
（2）∵三棱錐C₁-AEF的底面積即三角形AEF的面積
S△AEF=

1

2

×

2

2

×

3 2

4

= 

3

8

，又∵三棱錐C₁-AEF的高，即CC₁的長為1
∴三棱錐C₁-AEF的體積VC1-AEF=

1

3

×

3

8

×1=

1

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了空間線線的位置關(guān)系，空間異面直線所成的角的求法，以及三棱錐體積的計(jì)算，解題時(shí)要善于利用空間直角坐標(biāo)系解決立體幾何問題，計(jì)算要認(rèn)真細(xì)致