Question

1．已知橢圓的中心在原點，離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，F(xiàn)為左焦點，A為右頂點．B為短軸一頂點．
（1）求cos∠ABF；
（2）若△ABF的面積為1+$\sqrt{2}$，求橢圓的標準方程．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得$a=\sqrt{2}c$=$\sqrt{2}$b，在△ABF中，|BF|=a=$\sqrt{2}$c，|AB|=$\sqrt{3}$c，|AC|=a+c=$（\sqrt{2}+1）$c．利用余弦定理可得即可得出cos∠ABF．
（2）由△ABF的面積為1+$\sqrt{2}$，可得$\frac{1}{2}|AF||OB|$=1+$\sqrt{2}$，代入解出即可得出．

解答 解：（1）∵$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得$a=\sqrt{2}c$=$\sqrt{2}$b，
在△ABF中，|BF|=a=$\sqrt{2}$c，|AB|=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{3}$c，|AC|=a+c=$（\sqrt{2}+1）$c．
由余弦定理可得：cos∠ABF=$\frac{（\sqrt{2}c）^{2}+（\sqrt{3}c）^{2}-（\sqrt{2}+1）^{2}{c}^{2}}{2×\sqrt{2}c×\sqrt{3}c}$=$\frac{\sqrt{6}-2\sqrt{3}}{6}$．
（2）∵△ABF的面積為1+$\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{2}|AF||OB|$=1+$\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{2}（\sqrt{2}+1）c•c$=1+$\sqrt{2}$，
解得c=$\sqrt{2}$，
∴a=2，b=$\sqrt{2}$．
∴橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、余弦定理、三角形的面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．