【題目】已知曲線的極坐標(biāo)方程是,曲線的極坐標(biāo)方程是,正三角形的頂點(diǎn)都在上,且按逆時(shí)針次序排列,點(diǎn)的極坐標(biāo)為,以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系.

1)求曲線的直角坐標(biāo)方程及點(diǎn)的直角坐標(biāo);

2)設(shè)上任意一點(diǎn),求的取值范圍.

【答案】1;點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,2

【解析】

1)整理曲線的極坐標(biāo)方程為,根據(jù)即可求得曲線的直角坐標(biāo)方程;由題可知,根據(jù)點(diǎn)的極坐標(biāo)為,按逆時(shí)針次序排列可得點(diǎn)的極坐標(biāo)為,點(diǎn)的極坐標(biāo)為,進(jìn)而求解即可;

2)由(1)可得曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),設(shè),則為參數(shù)),先求得的坐標(biāo)表示,即可求得,再根據(jù)求解即可.

解:(1)曲線的極坐標(biāo)方程是,即,

,

∴直角坐標(biāo)方程為,即.

∵正三角形的頂點(diǎn)都在上,且按逆時(shí)針次序排列,

設(shè)極點(diǎn)為,則,

∴點(diǎn)的極坐標(biāo)為,,,

∴點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,,,

,,.

2)由(1)可得曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),

設(shè),則為參數(shù)),

,

,

,

的取值范圍為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】設(shè)函數(shù)

1)求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間;

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(2)若CD中點(diǎn)為E,求△ABE面積的取值范圍.

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A.三個(gè)班級(jí)中,甲班分?jǐn)?shù)的方差最小

B.三個(gè)班級(jí)中,乙班分?jǐn)?shù)的極差最大

C.丙班得分低于80的學(xué)生人數(shù)多于得分高于80的學(xué)生人數(shù)

D.若每班有42個(gè)學(xué)生,則三個(gè)班級(jí)的第11名中,丙班的分?jǐn)?shù)最高

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【題目】隨著人民生活水平的日益提高,某小區(qū)居民擁有私家車(chē)的數(shù)量與日俱增.由于該小區(qū)建成時(shí)間較早,沒(méi)有配套建造地下停車(chē)場(chǎng),小區(qū)內(nèi)無(wú)序停放的車(chē)輛造成了交通的擁堵.該小區(qū)的物業(yè)公司統(tǒng)計(jì)了近五年小區(qū)登記在冊(cè)的私家車(chē)數(shù)量(累計(jì)值,如147表示2016年小區(qū)登記在冊(cè)的所有車(chē)輛數(shù),其余意義相同),得到如下數(shù)據(jù):

編號(hào)

1

2

3

4

5

年份

2014

2015

2016

2017

2018

數(shù)量(單位:輛)

37

104

147

196

216

1)若私家車(chē)的數(shù)量與年份編號(hào)滿足線性相關(guān)關(guān)系,求關(guān)于的線性回歸方程,并預(yù)測(cè)2020年該小區(qū)的私家車(chē)數(shù)量;

2)小區(qū)于2018年底完成了基礎(chǔ)設(shè)施改造,劃設(shè)了120個(gè)停車(chē)位.為解決小區(qū)車(chē)輛亂停亂放的問(wèn)題,加強(qiáng)小區(qū)管理,物業(yè)公司決定禁止無(wú)車(chē)位的車(chē)輛進(jìn)入小區(qū).由于車(chē)位有限,物業(yè)公司決定在2019年度采用網(wǎng)絡(luò)競(jìng)拍的方式將車(chē)位對(duì)業(yè)主出租,租期一年,競(jìng)拍方案如下:①截至2018年己登記在冊(cè)的私家車(chē)業(yè)主擁有競(jìng)拍資格;②每車(chē)至多中請(qǐng)一個(gè)車(chē)位,由車(chē)主在競(jìng)拍網(wǎng)站上提出申請(qǐng)并給出自己的報(bào)價(jià);③根據(jù)物價(jià)部門(mén)的規(guī)定,競(jìng)價(jià)不得超過(guò)1200元;④申請(qǐng)階段截止后,將所有申請(qǐng)的業(yè)主報(bào)價(jià)自高到低排列,排在前120位的業(yè)主以其報(bào)價(jià)成交;⑤若最后出現(xiàn)并列的報(bào)價(jià),則以提出申請(qǐng)的時(shí)間在前的業(yè)主成交,為預(yù)測(cè)本次競(jìng)拍的成交最低價(jià),物業(yè)公司隨機(jī)抽取了有競(jìng)拍資格的40位業(yè)主,進(jìn)行了競(jìng)拍意向的調(diào)查,并對(duì)他們的擬報(bào)競(jìng)價(jià)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),得到如圖頻率分布直方圖:

i)求所抽取的業(yè)主中有意向競(jìng)拍報(bào)價(jià)不低于1000元的人數(shù);

ii)如果所有符合條件的車(chē)主均參與競(jìng)拍,利用樣本估計(jì)總體的思想,請(qǐng)你據(jù)此預(yù)測(cè)至少需要報(bào)價(jià)多少元才能競(jìng)拍車(chē)位成功?(精確到整數(shù))

參考公式及數(shù)據(jù):對(duì)于一組數(shù)據(jù),其回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為:;

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【題目】某校進(jìn)行了一次創(chuàng)新作文大賽,共有100名同學(xué)參賽,經(jīng)過(guò)評(píng)判,這100名參賽者的得分都在之間,其得分的頻率分布直方圖如圖,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )

A.得分在之間的共有40人

B.從這100名參賽者中隨機(jī)選取1人,其得分在的概率為0.5

C.估計(jì)得分的眾數(shù)為55

D.這100名參賽者得分的中位數(shù)為65

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1)若,求的方程;

2)設(shè)過(guò)點(diǎn)軸的垂線交于另一點(diǎn),若的外心,證明:為定值.

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【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.

(1)寫(xiě)出的普通方程及的直角坐標(biāo)方程;

(2)設(shè)點(diǎn)上,點(diǎn)上,求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的直角坐標(biāo).

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