Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長為1，高為h（h＞3），點M在側(cè)棱BB₁上移動，并且M到底面ABC的距離為x，且AM與側(cè)面BCC₁B₁所成的角為α．
（1）若α在區(qū)間[

π

6

，

π

4

]上變化，求x的變化范圍； 
（2）若α為

π

6

，求AM與BC所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)BC的中點為D，連接AD、DM，根據(jù)題意BB₁⊥平面ABC，由線面垂直的判定與性質(zhì)證出AD⊥平面BB₁CC₁，從而得到∠AMD即為AM與側(cè)面BCC₁所成角．然后在Rt△ADM中，設(shè)BM長為x，利用三角函數(shù)的定義建立tanα關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合α∈[

π

6

，

π

4

]解關(guān)于x的不等式，即可得到點M到平面ABC的距離的取值范圍；
（2）由（1）的結(jié)論算出BM=

2

．然后采用向量法：將

AM

化成

AB

+

BM

，求出

AM

•

BC

并利用夾角公式算出

AM

、

BC

夾角的余弦值，最后結(jié)合異面直線所成角的范圍即可求出AM與BC所成角的余弦值．

解答：解：（1）設(shè)BC的中點為D，連接AD、DM，則
∵△ABC為正三角形，D為AC中點，∴AD⊥BC，
∵BB₁⊥平面ABC，AD?平面ABC，∴AD⊥BB₁ 
∵BB₁、BC是平面BB₁C₁C內(nèi)的相交直線，∴AD⊥平面BB₁CC₁．
因此，∠AMD即為AM與側(cè)面BCC₁所成角α．
∵點M到平面ABC的距離為BM，設(shè)BM=x，x∈（0，h）．
在Rt△ADM中，tan∠AMD=

AD

DM

．
由AD=

3

2

，DM=

BD2+BM2

=

1+4x2

2

，得tanα=

3

1+4x2

．
∵α∈[

π

6

，

π

4

]時，tanα∈[

3

3

，1]
∴

3

3

≤

3

1+4x2

≤1，化簡得3≤1+4x²≤9，解得

1

2

≤x²≤2．
因此，點M到平面ABC的距離x的取值范圍是[

2

2

，

2

]；
（2）當(dāng)α=

π

6

時，由（1）得BM=

2

，
故可得DM=

3

2

，AM=

AD2+DM2

=

3

．
設(shè)

AM

與

BC

的夾角為θ．
∵

AM

•

BC

=（

AB

+

BM

）•

BC

=

AB

•

BC

+

BM

•

BC

=1×1×cos120°+0=-

1

2

．
∴cos＜

AM

，

BC

＞=

AM • BC

|AM| • |BC|

=

- 1 2

3 •1

=-

3

6

∵AM與BC所成角θ∈(0，

π

2

]，
∴cosθ=

3

6

，即AM與BC所成角的余弦值

3

6

．

點評：本題在特殊三棱柱中求異面直線所成的角，著重考查了直棱柱的性質(zhì)、線面垂直的判定定理和異面直線所成角的定義及其求法等知識，屬于中檔題．