Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和s_n，數(shù)列{s_n}的前n項和為{T_n}，滿足T_n=2S_n-n²，n∈N^*．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（3）求數(shù)列{

3n

an+2

}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）令n=1，得a₁=2a₁-1，由此能求出a₁=1，令n=2，得1+1+a₂=2（1+a₂）-2²，由此能求出a₂=4．
（2）由T_n=2S_n-n²，T_n+1=2S_n+1-（n+1）²，得：S_n+1=2S_n+（2n+1），S_n+2=2S_n+1+（2n+3），相減得：a_n+2=2a_n+1+2，從布數(shù)列{a_n+2}是以a₁+2=3為首項，公比為2的等比數(shù)列，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（3）由

3n

an+2

=

3n

3×2n-1

=

n

2n-1

，利用錯位相減法能求出數(shù)列{

3n

an+2

}的前n項和S_n．

解答： 解：（1）在T_n=2S_n-n²，n∈N^*中，
令n=1，得a₁=2a₁-1，解得a₁=1，
令n=2，得1+1+a₂=2（1+a₂）-2²，解得a₂=4．
（2）∵T_n=2S_n-n²，
∴T_n+1=2S_n+1-（n+1）²，
相減得：S_n+1=2S_n+（2n+1），
∴S_n+2=2S_n+1+（2n+3），
相減得：a_n+2=2a_n+1+2，
∵a₁=1，a₂=4，
∴a_n+1=2a_n+2，∴a_n+1+2=2（a_n+2），
∴數(shù)列{a_n+2}是以a₁+2=3為首項，公比為2的等比數(shù)列                
∴an+2=3×2n-1，
∴an=3×2n-1-2．
（3）

3n

an+2

=

3n

3×2n-1

=

n

2n-1

，
∴S_n=

1

20

+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

，①

1

2

Sn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

．②
①-②，得：

1

2

Sn=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1- 1 2n

1- 1 2

-

n

2n

∴S_n=1-

n+1

2n

．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式 和前n項和公式的求法，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．