Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a1=0，4an+1=4an+2

4an+1

+1，令bn=

4an+1

．
（1）試判斷數(shù)列{b_n}是否為等差數(shù)列？并求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令Tn=

b1×b3×b5×…×b(2n-1)

b2×b4×b6×…b2n

，是否存在實(shí)數(shù)a，使得不等式Tn

bn+1

＜

2

log2(a+1)對(duì)一切n∈N^*都成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）比較bnbn+1與bn+1bn的大�。�

Answer 1

分析：（1）利用已知配湊出4a_n+1+1、4a_n+1即b_n+1、b_n的形式，然后根據(jù)等差數(shù)列的定義求解；
（2）構(gòu)造數(shù)列c_n=Tn

bn+1

，在（1）的基礎(chǔ)上，求出c_n表達(dá)式，利用c_n的單調(diào)性求出c_n的最大值，從而轉(zhuǎn)化為不等式求解問(wèn)題，進(jìn)而完成對(duì)a的探索．
（3）構(gòu)造函數(shù)f(x)=

lnx

x

，利用函數(shù)的單調(diào)性分n≤2和n≥3兩種情況探索．

解答：解：（1）由已知得an+1+

1

4

=(an+

1

4

)+

an+ 1 4

+

1

4

，
即4an+1+1=4an+1+2

4an+1

+1，（2分）
所以b_n+1²=b_n²+2b_n+1，即b_n+1=b_n+1，
又b₁=1，所以數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，
通項(xiàng)公式為b_n=n（n∈N^*）．
（2）令c_n=Tn

bn+1

，
由Tn=

b1×b3×b5××b(2n-1)

b2×b4×b6×b2n

，
得

cn+1

cn

=

1×3×5××(2n+1) 2×4×6××(2n+2) n+2

1×3×5××(2n-1) 2×4×6××2n n+1

=

2n+1

2n+2

×

n+2

n+1

=

(n+2)(2n+1)2 (2n+2)2(n+1)

=

4n3+12n2+9n+2 4n3+12n2+12n+4

＜1
所以，數(shù)列{c_n}為單調(diào)遞減數(shù)列，（8分）
所以數(shù)列{c_n}的最大項(xiàng)為c1=

2

2

，
若不等式Tn

bn+1

＜

2

log2(a+1)對(duì)一切n∈N^*都成立，只需

2

2

＜

2

log2(a+1)，
解得a＞

2

-1，
所以a的取值范圍為（

2

-1，+∞）．（12分）
（3）問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為比較nⁿ⁺¹與（n+1）ⁿ的大小．
設(shè)函數(shù)f(x)=

lnx

x

，所以f′(x)=

1-lnx

x2

．
當(dāng)0＜x＜e時(shí)，f'（x）＞0；
當(dāng)x＞e時(shí)，f'（x）＜0．所以f（x）在（0，e）上為增函數(shù)；在（e，+∞）上為減函數(shù)．
當(dāng)n=1，2時(shí)，顯然有nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，
當(dāng)n≥3時(shí)，f（n）＞f（n+1），即

lnn

n

＞

ln(n+1)

n+1

，
所以（n+1）lnn＞nln（n+1），即lnnⁿ⁺¹＞ln（n+1）ⁿ，
所以nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ．
綜上：當(dāng)n=1，2時(shí)，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，即bnbn+1＜bn+1bn；
當(dāng)n≥3時(shí)，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ即bnbn+1＞bn+1bn．（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，分類(lèi)討論、化歸思想等數(shù)學(xué)思想方法，以及推理、分析與解決問(wèn)題的能力．