Question

20．定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數(shù)y=f（x），當(dāng)x＞0時，f（x）=|lgx|．
（1）求x＜0時f（x）的解析式；
（2）若存在四個互不相同的實數(shù)a，b，c，d使f（a）=f（b）=f（c）=f（d），求abcd的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，進行求解即可．
（2）根據(jù)對數(shù)函數(shù)和對數(shù)方程的關(guān)系進行求解即可．

解答 解：（1）當(dāng)x＜0時，-x＞0，f（-x）=|lg（-x）|，（3分）
因f（x）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數(shù)，
即f（x）=f（-x）=|lg（-x）|，
所以，當(dāng)x＜0時，f（x）=|lg（-x）|．（6分）
（2）不妨設(shè)a＜b＜c＜d，令f（a）=f（b）=f（c）=f（d）=m，（m＞0），則
當(dāng)x＞0時，f（x）=|lgx|=m，
可得lgx=±m(xù)，即x=10^m或10^-m，（10分）
當(dāng)x＜0時，f（x）=|lg（-x）|=m．可得lg（-x）=±m(xù)，
即x=-10^m或-10^-m，（14分）
因a＜b＜c＜d，
所以a=-10^m，b=-10^-m，c=10^-m，d=10^m，abcd=10^m.10^-m．（-10^m）．（-10^-m）=1．（16分）

點評 本題主要考查函數(shù)解析式的求解，利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，利用對稱性進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．