Question

已知過(guò)點(diǎn)A作兩圓（x-2）²+y²=1和x²+（y-2）²=1的切線，其切線長(zhǎng)相等，點(diǎn)B在x軸上，點(diǎn)C（2，1），則△ABC周長(zhǎng)的最小值為

10

．

Answer 1

分析：根據(jù)兩圓的半徑相等，可得過(guò)點(diǎn)A作兩圓的切線，滿(mǎn)足切線長(zhǎng)相等點(diǎn)A的軌跡為兩圓的對(duì)稱(chēng)軸，因此求得點(diǎn)A為直線y=x上的動(dòng)點(diǎn)．作點(diǎn)C關(guān)于直線y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C₁和點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C₂，連結(jié)C₁C₂分別交直線y=x和x軸于點(diǎn)A'、B'，可得：當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)A'重合且點(diǎn)B與點(diǎn)B'重合時(shí)，△ABC周長(zhǎng)的最小．由此結(jié)合題中數(shù)據(jù)加以計(jì)算，即可得到△ABC周長(zhǎng)的最小值．

解答：解：圓（x-2）²+y²=1和x²+（y-2）²=1的圓心分別為點(diǎn)（2，0）和點(diǎn)（0，2），半徑都等于1
∵點(diǎn)（2，0）和點(diǎn)（0，2）關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)，兩圓的半徑相等
∴過(guò)點(diǎn)A作兩圓的切線，當(dāng)切線長(zhǎng)相等時(shí)點(diǎn)A的軌跡為兩圓的對(duì)稱(chēng)軸y=x
即點(diǎn)A為直線y=x上的動(dòng)點(diǎn)
∵點(diǎn)A為直線y=x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B是x軸上的動(dòng)點(diǎn)
∴作點(diǎn)C（2，1）關(guān)于直線y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C₁，
作點(diǎn)C（2，1）關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C₂，
連結(jié)C₁C₂分別交直線y=x和x軸于點(diǎn)A'、B'，
當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)A'重合且點(diǎn)B與點(diǎn)B'重合時(shí)，△ABC周長(zhǎng)的最小，
最小值等于線段C₁C₂的長(zhǎng)．
求得C₁（1，2）、C₂（2，-1），
可得△ABC周長(zhǎng)的最小值為|C₁C₂|=

(2-1)2+(-1-2)2

=

10

故答案為：

10

點(diǎn)評(píng)：本題給出動(dòng)點(diǎn)A滿(mǎn)足到兩個(gè)定圓的切線長(zhǎng)相等，求△ABC周長(zhǎng)的最小值．著重考查了圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系、兩點(diǎn)之間的距離公式和利用對(duì)稱(chēng)求三角形周長(zhǎng)問(wèn)題等知識(shí)，屬于中檔題．