Question

已知f（x）=x³-

1

2

x²-1，x∈R，
（1）求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，

1

2

）處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）在（1，2）上的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在x=1時(shí)的導(dǎo)數(shù)，直接由直線方程的點(diǎn)斜式得答案；
（2）利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)在（1，2）上的單調(diào)性，再由單調(diào)函數(shù)在開區(qū)間上無最值說明函數(shù)f（x）在（1，2）上無最大值．

解答： 解：∵f（x）=x³-

1

2

x²-1，
∴f′（x）=3x²-x．
（1）f′（1）=3×1²-1=2．
即函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，

1

2

）處的切線的斜率為2，
∴函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，

1

2

）處的切線方程為y-

1

2

=2（x-1），
整理得：4x-2y-3=0；
（2）由f′（x）=3x²-x，得x1=0，x2=

1

3

，
∴當(dāng)x＞

1

3

時(shí)f′（x）＞0，即函數(shù)在(

1

3

，+∞)上為增函數(shù)．
∴f（x）在（1，2）上是增函數(shù)，無最大值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)的切線方程，過曲線上某點(diǎn)的切線的斜率，就是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是中檔題．