Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，AB=AD，E是線段PD上的點，F(xiàn)是線段AB上的點，且．
（Ⅰ）當(dāng)λ=1時，證明DF⊥平面PAC；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)λ，使異面直線EF與CD所成的角為60°？若存在，試求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）以A為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示向量，證明，，即可證得DF⊥平面PAC；
（Ⅱ）設(shè)PA=AD=1，則AB=PD=，確定=，，利用向量的夾角公式，及異面直線EF與CD所成的角為60°，建立方程即可得到結(jié)論．
解答：（Ⅰ）證明：以A為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
當(dāng)λ=1時，則F為AB的中點，設(shè)PA=AD=1，則AB=PD=，則
A（0，0，0），C（，1，0），P（0，0，1），D（0，1，0），F(xiàn)（）．
∴，，=（0，0，1）．
∴，，
∴，．
∵AC∩AP=A
∴DF⊥平面PAC；
（Ⅱ）解：設(shè)PA=AD=1，則AB=PD=，則A（0，0，0），C（，1，0），P（0，0，1），D（0，1，0），．
∵，
∴F（，0，0），E（0，）．
∴=，，∴．
依題意，有，
∵λ＞0，∴，∴λ=．
∴存在實數(shù)λ=，使異面直線EF與CD所成的角為60°．
點評：本題考查線面垂直，考查線線角，考查利用空間向量解決立體幾何問題，關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點與向量．