Question

11．已知點B（0，1），點C（0，-3），直線PB、PC都是圓（x-1）²+y²=1的切線（P點不在y軸上）．
（Ⅰ）求過點P且焦點在x軸上拋物線的標準方程；
（Ⅱ）過點（1，0）作直線l與（Ⅰ）中的拋物線相交于M、N兩點，問是否存在定點R，使$\overrightarrow{RM}$•$\overrightarrow{RN}$為常數(shù)？若存在，求出點R的坐標與常數(shù)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)直線PC的方程為y=kx-3，由圓心（1，0）到切線PC的距離等于半徑1求得k的值，可得PC的方程．求得P點的坐標，即可求得拋物線的標準方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為x=my+1，代入拋物線方程并整理，利用韋達定理求得y₁+y₂ 和y₁•y₂ 的值．設(shè)點R（x₀，y₀），計算$\overrightarrow{RM}•\overrightarrow{RN}$ 為-$\frac{1}{3}$x₀m²-$\frac{1}{3}$y₀ m+${（1{-x}_{0}）}^{2}$+${{y}_{0}}^{2}$-$\frac{1}{3}$，可得當x₀=y₀=0時，上式是一個與m無關(guān)的常數(shù)，從而得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)直線PC的方程為：y=kx-3，
由圓心（1，0）到切線PC的距離等于半徑1可得$\frac{|k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，求得k=$\frac{4}{3}$，故PC的方程為y=$\frac{4}{3}$x-3．
由 $\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{y=\frac{4}{3}x-3}\end{array}\right.$求得P點的坐標為（3，1）．
可求得拋物線的標準方程為y²=$\frac{1}{3}$x．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為x=my+1，代入拋物線方程并整理得y²-$\frac{1}{3}$my-$\frac{1}{3}$=0．
設(shè)M（x₁，y₁）、N （x₂，y₂），則y₁+y₂=$\frac{m}{3}$，y₁•y₂=$\frac{1}{3}$．
設(shè)點R（x₀，y₀），則$\overrightarrow{RM}•\overrightarrow{RN}$=（x₁-x₀，y₁-y₀）•（x₂-x₀，y₂-y₀）=（my₁+1-x₀ ）（my₂+1-x₀）+（y₁-y₀）（y₂-y₀）
=m²•y₁•y₂+m（1-x₀）（y₁+y₂ ）+${（1{-x}_{0}）}^{2}$+y₁•y₂-y₀（y₁+y₂ ）+${{y}_{0}}^{2}$=-$\frac{1}{3}$x₀m²-$\frac{1}{3}$y₀ m+${（1{-x}_{0}）}^{2}$+${{y}_{0}}^{2}$-$\frac{1}{3}$，
故當x₀=y₀=0時，上式是一個與m無關(guān)的常數(shù)
所以存在定點R（0，0）滿足條件，相應(yīng)的常數(shù)是$\frac{2}{3}$．

點評 本題主要考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，點到直線的距離公式、韋達定理的應(yīng)用，兩個向量的數(shù)量積公式，還考查了計算能力，屬于中檔題．