Question

【題目】（本題滿分10分）

已知橢圓 的左焦點為，右焦點為，離心率.過的直線交橢圓于、兩點，且的周長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設動直線與橢圓有且只有一個公共點，且與直線相交于點.求證：以為直徑的圓恒過一定點.并求出點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）＝1（2）存在定點M(1，0)，

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據過的直線交橢圓于兩點，且的周長為8，可得，即，利用， ，即可求得橢圓E的方程．（Ⅱ）由消元可得，利用動直線與橢圓E有且只有一個公共點，可得，進而可得，由得，取

，猜想滿足條件的點存在，只能是，再進行證明即可

試題解析：（1）∵,即.

又，所以.

又因為，即，所以，所以.

故橢圓的方程為.

（2）法一：由消去得.

因為動直線與橢圓有且只有一個公共點，所以，且，即

，化簡得.

此時， ，所以

由得

從而以線段為直徑的圓的方程滿足，化簡得

.

由對稱性知，點必在軸上.而當時， ,易得，此式恒成立.

故命題成立.定點坐標為.

法二：由消去得.

因為動直線與橢圓有且只有一個公共點，所以，且，即

，化簡得.

此時， ，所以

由得.

因為存在定點滿足條件，由圖形對稱性知：點必在軸上.取

此時以為直徑的圓的方程為交軸于,;取，此時，以為直徑的圓的方程為，交軸于點.所以滿足條件的點存在，其必為.

下面證明點滿足條件.

因為所以，故

恒有,故點恒在以線段為直徑的圓上.