【題目】已知函數(shù)f(x)=ln(x+2a)﹣ax,a>0.
(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)記f(x)的最大值為M(a),若a2>a1>0且M(a1)=M(a2),求證: ;
(Ⅲ)若a>2,記集合{x|f(x)=0}中的最小元素為x0 , 設(shè)函數(shù)g(x)=|f(x)|+x,求證:x0是g(x)的極小值點(diǎn).

【答案】解:(Ⅰ):f′(x)= ﹣a= ,

∵x>﹣2a,a>0,

由f′(x)>0,得﹣2a<x< ﹣2a,

由f′(x)<0,得x> ﹣2a,

∴f(x)的增區(qū)間為(﹣2a, ﹣2a),減區(qū)間為( ﹣2a,+∞),

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,M(a)=f( ﹣2a)=2a2﹣1﹣lna,

∴2a12﹣1﹣lna1=2a22﹣1﹣lna2,

∴2(a22﹣a12)=lna2﹣lna1=ln

∴2a1a2 =ln ,

∴4a1a2 )=2ln ,

∴4a1a2= ,

設(shè)h(t)=t﹣ ﹣2lnt,t>1

∴h′(t)=1+ =(1﹣ 2>0,

∴h(x)在(1,+∞)單調(diào)遞增,h(t)>h(1)=0,

即t﹣ >2lnt>0,

>1,

>2ln >0,

<1,

∴a1a2 ;

(Ⅲ)由(Ⅰ)可知,f(x)在區(qū)間(﹣2a, ﹣2a),

又x→﹣2a時(shí),f(x)→﹣∞,

易知f( ﹣2a)=M(a)=2a2﹣1﹣lna在(2,+∞)遞增,

M(a)>M(2)=7﹣ln2>0,

∴﹣2a<x0 ﹣2a,且﹣2a<x<x0,f(x)<0,

x0<x< ﹣2a時(shí),f(x)>0,

∴當(dāng)﹣2a<x< ﹣2a時(shí),g(x)= ,

于是﹣2a<x<x0時(shí),g′(x)=(a+1)﹣ <a+1﹣ ,

∴若能證明x0 ﹣2a,便能證明(a+1)﹣ <0,

記φ(a)=f( ﹣2a)=2a2+ ﹣1﹣ln(a+1),

∴φ(a)=4a﹣ ,

∵a>2,

∴h′(a)>8﹣ >0,

∴φ(a)在(2,+∞)上單調(diào)遞增,

∴φ(a)>φ(2)= ﹣ln3>0,

﹣2a< ﹣2a,

∴f(x)在(﹣2a, ﹣2a)內(nèi)單調(diào)遞減,

∴x0∈(﹣2a, ﹣2a),

于是﹣2a<x<x0時(shí),g′(x)=a+1﹣ <a+1﹣ =0,

∴g(x)在(﹣2a,x0)遞減,

當(dāng)x0<x< ﹣2a時(shí),相應(yīng)的g′(x)= ﹣(a﹣1)> ﹣(a﹣1)=1>0,

∴g(x)在(x0, ﹣2a)遞增,

故x0是g(x)的極小值點(diǎn).


【解析】(Ⅰ)先求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,(Ⅱ)由(Ⅰ)知,M(a)=f( ﹣2a)=2a2﹣1﹣lna,繼而得到2a12﹣1﹣lna1=2a22﹣1﹣lna2,通過轉(zhuǎn)化得到4a1a2= ,設(shè)h(t)=t﹣ ﹣2lnt,t>1根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明 <1,問題即可得以證明,(Ⅲ)由(Ⅰ)可得,g(x)= ,分類討論,得到g(x)在(﹣2a,x0)遞減,g(x)在(x0, ﹣2a)遞增,故x0是g(x)的極小值點(diǎn).
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值才能正確解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(Ⅱ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
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(1)若景點(diǎn)甲中的數(shù)據(jù)的中位數(shù)是125,景點(diǎn)乙中的數(shù)據(jù)的平均數(shù)是124,求x,y的值;
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(3)現(xiàn)從上圖的共20天的數(shù)據(jù)中任取2天的數(shù)據(jù)(甲、乙兩景點(diǎn)中各取1天),記其中游客數(shù)不低于115且不高于125人的天數(shù)為η,求η的分布列和期望.

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