Question

設(shè)多面體ABCDEF，已知AB∥CD∥EF，平面ABCD⊥平面ADF，其中ADF是以AD為斜邊的等腰直角三角形，設(shè)G為BC的中點(diǎn)，若∠ADC=120°，AD=AB=2，CD=4，EF=3．
（1）求證：EG∥平面ADF．（2）求二面角B-DE-G的余弦值．

Answer 1

分析：（I）如圖所示：易知EFHG為平行四邊形，從而有EG∥FH，根據(jù)線面平行的判定定理可得結(jié)論．
（II）：易知FH⊥平面ABCD，又ABD為正三角形，則HB⊥AD，可以H為原點(diǎn)可建立空間坐標(biāo)系，先求得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，再求得相關(guān)平面的法向量，最后利用夾角公式求解．

解答：解：（I）證明：如圖，設(shè)H為AD的中點(diǎn)，可得GH=3，則GH=EF，又由公理4可得GH∥EF，則EFHG為平行四邊形，（4分）
故EG∥FH，則EG∥平面ADF．（6分）

（II）：由上可知FH⊥平面ABCD，又ABD為正三角形，則HB⊥AD，故以H為原點(diǎn)可建立空間坐標(biāo)系（如圖），（7分）

可得B(0，

3

，0)，C(-3，2

3

，0)，D(-1，0，0)，G(-

3

2

，

3 3

2

，0)，E(-

3

2

，

3 3

2

，1)，
則

DB

=(1，

3

，0)，

BE

=(-

3

2

，

3

2

，1)，

DG

=(-

1

2

，

3 3

2

，0)（10分）
設(shè)平面BDE的法向量為

n1

=(1，y，z)，
則由

n

1•

DB

=0，

n1

•

BE

=0
得

n

1=(1，-

3

3

，2)，（12分）
設(shè)平面DEG的法向量為

n2

=(1，y，0)，由

n

2•

DG

=0得

n

2=(1，

3

9

，0)，
則二面角B-DE-G的余弦值為cos＜

n1

，

n2

＞=

7

7

點(diǎn)評：本題主要考查線面平行的判斷定定理，以及空間直角坐標(biāo)法求二面角問題，用向量法求線線角，線面角和面面角很方便，要熟練掌握．