Question

設函數f（x）的定義域為D，如果對于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使得成立（其中C為常數），則稱函數y=f（x）在D上的約算術均值為C，則下列函數在其定義域上的算術均值可以為2的函數是

1. A.
   y=x²
2. B.
   y=4sinx
3. C.
   y=lnx
4. D.
   y=2^x

Answer 1

C
分析：本題可轉化為關于x₂的方程是否存在唯一解問題，先直接根據選項建立方程f（x₁）+f（x₂）=4，然后判斷是否存在唯一的解，從而得到正確選項．
解答：由題意可得，均值為2，則=2即f（x₁）+f（x₂）=4，轉化為關于x₂的方程是否存在唯一解問題．
A任意的x₁∈R，關于x₂的方程x₁²+x₂²=4，當x₁＞2時，一定無解；
B任意的x₁∈R，關于x₂的方程4sinx₁+4sinx₂=4，即sinx₁+sinx₂=1，當sinx₁＜0時，一定無解；
C任意的x₁∈（0，+∞），關于x₂的方程lnx₁+lnx₂=4，一定有唯一解；
D任意的x₁∈R，關于x₂的方程+=4，當＞4時，一定無解．
故選C．
點評：本題主要考查了函數的新定義，解決問題的關鍵是要根據已知定義，把題中的定義進行轉化，要求考生具備閱讀轉化的能力，屬于中檔題．