Question

（2013•濟(jì)南一模）已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁和F₂，由4個(gè)點(diǎn)M（-a，b）、N（a，b）、F₂和F₁組成了一個(gè)高為

3

，面積為3

3

的等腰梯形．
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F₁的直線和橢圓交于兩點(diǎn)A、B，求△F₂AB面積的最大值．

Answer 1

分析：解：（1）由題意知b=

3

，

1

2

(2a+2c)b=3

3

，即a+c=3①，又a²=3+c²②，聯(lián)立①②解得a，c，；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），過(guò)點(diǎn)F₁的直線方程為x=ky-1，代入橢圓方程消掉x得y的二次方程，△F₂AB的面積S=

1

2

×|F1F2|(|y1|+|y2|)=|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

，由韋達(dá)定理代入面積表達(dá)式變?yōu)閗的函數(shù)，適當(dāng)變形借助函數(shù)單調(diào)性即可求得S的最大值；

解答：解：（1）由題意知b=

3

，

1

2

(2a+2c)b=3

3

，所以a+c=3①，
又a²=b²+c²，即a²=3+c²②，
聯(lián)立①②解得a=2，c=1，
所以橢圓方程為：

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由（1）知F₁（-1，0），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），過(guò)點(diǎn)F₁的直線方程為x=ky-1，
由

x=ky-1 x2 4 + y2 3 =1

得（3k²+4）y²-6ky-9=0，△＞0成立，
且y1+y2=

6k

3k2+4

，y1y2=

-9

3k2+4

，
△F₂AB的面積S=

1

2

×|F1F2|(|y1|+|y2|)=|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

36k2 (3k2+4)2 + 36 3k2+4

=12

k2+1 (3k2+4)2

=

12

9(k2+1)+ 1 k2+1 +6

，
又k²≥0，所以9(k2+1)+

1

k2+1

+6遞增，
所以9(k2+1)+

1

k2+1

+6≥9+1+6=16，
所以

12

9(k2+1)+ 1 k2+1 +6

≤

12

16

=3，當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)取得等號(hào)，
所以△F₂AB面積的最大值為3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓方程的求解，考查函數(shù)思想，解決（2）問(wèn)的關(guān)鍵是合理表示三角形面積并對(duì)表達(dá)式恰當(dāng)變形．