【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點(diǎn)E在棱PB上．

（1）求證：平面AEC⊥平面PDB；
（2）當(dāng)PD=2AB，且E為PB的中點(diǎn)，求二面角B﹣AE﹣C的余弦值．

【答案】
（1）證明：∵PD⊥底面ABCD，AC平面ABCD，

∴PD⊥AC，

底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，

又PD∩BD=D，∴AC⊥平面ABCD，

又AC平面AEC，

∴平面AEC⊥平面PDB．


（2）解：分別以DA、DC、DP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

不妨設(shè)AB=2，則D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），P（0，0，4），E（1，1，2），

=（0，2，0）， =（﹣1，1，2），

取平面ABC的一個(gè)法向量為 ，

設(shè)平面ABE的法向量 ，則 ，可得 ，取 =（2，0，1）．

∴ = = = ．

∴二面角B﹣AE﹣C的余弦值為 ．


【解析】（1）由PD⊥底面ABCD，可得PD⊥AC，利用正方形的性質(zhì)可得：AC⊥BD，再利用線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理即可證明．（2）分別以DA、DC、DP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的夾角公式即可得出．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解平面與平面垂直的判定(一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直)．

練習(xí)冊系列答案
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【題目】某城市交通部門為了對該城市共享單車加強(qiáng)監(jiān)管，隨機(jī)選取了100人就該城市共享單車的推行情況進(jìn)行問卷調(diào)查，并將問卷中的這100人根據(jù)其滿意度評分值（百分制）按照，，，分成5組，制成如圖所示頻率分直方圖．

（1）求圖中x的值；

（2）求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)；

（3）已知滿意度評分值在內(nèi)的男生數(shù)與女生數(shù)的比為，若在滿意度評分值為的人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談，求2人均為男生的概率．

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【題目】已知命題a2x2+ax﹣2=0在[﹣1，1]上有解；命題q：只有一個(gè)實(shí)數(shù)x滿足不等式x2+2ax+2a≤0，若命題“p”或“q”是假命題，求a的取值范圍．

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【題目】已知函數(shù)y＝f(x)在定義域[－1，1]上既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)．

(1)求證：對任意x1，x2∈[－1，1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0；

(2)若f(1－a)＋f(1－a2)＜0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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【題目】已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（底面是正方形，側(cè)棱垂直于底面）的8個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，AB=1，AA1′=2，則球O的半徑R=；若E，F(xiàn)是棱AA1和DD1的中點(diǎn)，則直線EF被球O截得的線段長為 ．

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【題目】已知奇函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，其中為指數(shù)函數(shù)且過點(diǎn)．

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性定義證明．

（3）若對于任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】如圖，矩形所在平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn)．

（1）證明：平面平面；

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【題目】設(shè)橢圓C： （a＞2 ）的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，且滿足 ，其中O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，e為橢圓的離心率．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上一點(diǎn)，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N，求證：|AN||BM|為定值．

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【題目】已知命題p：在△ABC中，若AB＜BC，則sinC＜sinA；命題q：已知a∈R，則“a＞1”是“ ＜1”的必要不充分條件．在命題p∧q，p∨q，（￢p）∨q，（￢p）∧q中，真命題個(gè)數(shù)為（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4

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