Question

已知函數(shù)f（x）=x²-alnx在（1，2]是增函數(shù)，在（0，1）為減函數(shù)．
（1）求f（x）、g（x）的表達(dá)式；
（2）求證：當(dāng)x＞0時(shí)，方程f（x）=g（x）+2有唯一解．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知函數(shù)f（x）在（1，2]是增函數(shù)，g（x）在在（0，1）為減函數(shù)．則在（1，2]上f'（x）≥0恒成立，在（0，1）上g（x）≤0恒成立．
（2）由（1）不難給出方程f（x）=g（x）+2，然后構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性證明方程解的唯一性．
解答：解：（I），依題意f'（x）≥0，x∈（1，2]，即a≤2x²，x∈（1，2]．
∵上式恒成立，∴a≤2．①
又，依題意g'（x）≤0，x∈（0，1），即，x∈（0，1）．
∵上式恒成立，∴a≥2．②
由①②得a=2
∴
（II）由（I）可知，方程f（x）=g（x）+2，
設(shè)，

令h'（x）＞0，并由x＞0，得，解知x＞1
令h'（x）＜0，由x＞0，解得0＜x＜1
列表分析：
知h（x）在x=1處有一個(gè)最小值0
當(dāng)x＞0且x≠1時(shí)，h（x）＞0，
∴h（x）=0在（0，+∝）上只有一個(gè)解．
即當(dāng)x＞0時(shí)，方程f（x）=g（x）+2有唯一解
點(diǎn)評(píng)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性比用函數(shù)單調(diào)性的定義要方便，但應(yīng)注意f′（x）＞0（或f′（x）＜0）僅是f（x）在某個(gè)區(qū)間上為增函數(shù)（或減函數(shù)）的充分條件，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)f（x）在（a，b）上遞增（或遞減）的充要條件應(yīng)是f′（x）≥0[或f′（x）≤0]，x∈（a，b）恒成立，且f′（x）在（a，b）的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0，這就是說(shuō)，函數(shù)f（x）在區(qū)間上的增減性并不排斥在區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)處有f′（x0）=0，甚至可以在無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)處f′（x0）=0，只要這樣的點(diǎn)不能充滿(mǎn)所給區(qū)間的任何一個(gè)子區(qū)間，因此，在已知函數(shù)f（x）是增函數(shù)（或減函數(shù)）求參數(shù)的取值范圍時(shí)，應(yīng)令f′（x）≥0[或f′（x）≤0]恒成立，解出參數(shù)的取值范圍（一般可用不等式恒成立理論求解），然后檢驗(yàn)參數(shù)的取值能否使f′（x）恒等于0，若能恒等于0，則參數(shù)的這個(gè)值應(yīng)舍去，若f′（x）不恒為0，則由f′（x）≥0[或f′（x）≤0]恒成立解出的參數(shù)的取值范圍確定．