Question

如圖，在底面積邊長為1，側棱長為2的正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是側棱CC₁上的一點，CP=m．
（1）若m=1，求異面直線AP與BD₁所成的余弦值；
（2）是否存在實數m，使直線AP與平面AB₁D₁所成的正弦值是

1

3

？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：（1）以點D為坐標原點，DA為x軸，DB為y軸，D₁D為z軸，建立空間直角坐標系，分別求出向量

AP

，

BD1

的坐標，利用向量的夾角公式求出夾角，從而求出異面直線AE與BD₁所成角的余弦值．
（2）假設存在，得到直線AP與平面AB₁D₁的法向量夾角的余弦值的絕對值是

2 2

3

，找出法向量與向量AP，計算數量積解m．

解答： 解：（1）如圖所示，建立空間直角坐標系，

則A（1，0，0），P（0，1，1），B（1，1，0），D₁（0，0，2）
∴

AP

=（-1，1，1），

BD1

=（-1，-1，2）
∴

AP

•

BD1

=2，又AP=

3

，BD₁=

6

∴cos＜

AP

，

BD1

＞=

AP • BD1

| AP || BD1 |

=

2

3 × 6

=

2

3

，
∴異面直線AE與BD₁所成角的余弦值等于

2

3

；
（2）假設存在實數m，使直線AP與平面AB₁D₁所成的正弦值是

1

3

，則直線AP與平面AB₁D₁的法向量夾角的余弦值的絕對值是

2 2

3

，
則A（1，0，0），P（0，1，m），B₁（1，1，2），D₁（0，0，2），
∴

AP

=（-1，1，m），

AB1

=（0，1，2），

B1D1

=（-1，-1，0），
設平面AB₁D₁的法向量為

n

=（x，y，z），則

n • AB1 =0 n • B1D1 =0

，所以

y+2z=0 x+y=0

，
令z=1，則一個法向量

n

=（2，-2，1），
|cos＜

AP

，

n

＞|=|

AP • n

| AP || n |

|=|

-4+m

3 2+m2

|=

2 2

3

，解得m=0或m=

8

7

，滿足m∈[0，2]，
所以存在實數m=0或者m=

8

7

，使直線AP與平面AB₁D₁所成的正弦值是

1

3

．

點評：本題考查了四棱柱中異面直線所成的角和線面角，本題借助于空間向量的數量積解答，注意適當建立坐標系，正確找出所需向量的坐標．