Question

在平面直角坐標系xOy中，過定點C(p,0)作直線與拋物線y²＝2px(p＞0)相交于A，B兩點，如圖，設動點A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂).

(1)求證：y₁y₂為定值；

(2)若點D是點C關于坐標原點O的對稱點，求△ADB面積的最小值；

(3)是否存在平行于y軸的定直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

1)當直線AB垂直于x軸時，

y₁＝p，y₂＝－p，

因此y₁y₂＝－2p²(定值)；

當直線AB不垂直于x軸時，設直線AB的方程為

y＝k(x－p)，

由得ky²－2py－2p²k＝0，

∴y₁y₂＝－2p².

因此有y₁y₂＝－2p²為定值.

(2)∵C(p,0)，∴D(－p,0)，∴|DC|＝2p.

S_△ADB＝|DC|·|y₁－y₂|.

當直線AB垂直于x軸時，

S_△ADB＝·2p·2p＝2p²；

當直線AB不垂直于x軸時，由(1)知y₁＋y₂＝，

因此|y₁－y₂|＝

＝＞2p，

∴S_△ADB＞2p².

綜上，△ADB面積的最小值為2p².

(3)假設存在直線l：x＝a滿足條件.

設AC中點E(，)，|AC|＝，

因此以AC為直徑的圓的半徑r＝|AC|

＝＝，

AC中點E到直線x＝a的距離d＝|－a|，

∴所截弦長為：

2＝2

＝

＝，

當p－2a＝0，a＝時，

弦長＝＝p為定值.

這時直線l的方程x＝.