Question

對數列{a_n}，規(guī)定{△a_n}為數列{a_n}的一階差分數列，其中△a_n=a_n+1-a_n（n∈N^*）；一般地，規(guī)定{△^ka_n}為數列{a_n}的k階差分數列，其中△kan=△k-1an+1-△k-1an（k∈N^*，k≥2）．已知數列{a_n}的通項公式an=n2+n（n∈N^*），則以下結論正確的序號為

①④

．
①△a_n=2n+24；       
②數列{△³a_n}既是等差數列，又是等比數列；
③數列{△a_n}的前n項之和為an=n2+n；   
④{△²a_n}的前2014項之和為4028．

Answer 1

分析：根據△a_n=a_n+1-a_n 計算可得①不正確．根據△²a_n=2（n+1）+2-（2n+2）=2，得{△²a_n}是首項為2，公差為0的等差數列，故對數列{△³a_n}，△³a_n=2-2=0，故②不正確．
計算數列{△a_n}的前n項之和的值，可得③不正確． 根據{△²a_n}是首項為2，公差為0的等差數列，求得{△²a_n}的前2014項之和的值，可得④正確．

解答：解：由于△a_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），{△^ka_n}為數列{a_n}的k階差分數列，△kan=△k-1an+1-△k-1an，an=n2+n．
故△a_n=a_n+1-a_n =（n+1）²+（n+1）-[n²+n]=2n+2，故①不正確．
由于△²a_n=2（n+1）+2-（2n+2）=2，∴{△²a_n}是首項為2，公差為0的等差數列，故對數列{△³a_n}，△³a_n=2-2=0，故數列{△³a_n}是等差數列，但不是等比數列，故②不正確．
數列{△a_n}的前n項之和為△a₁+△a₂+…+△a_n=a₂-a₁+a₃-a₂+…+a_n+1-a_n=a_n+1-a₁=（n+1）²+（n+1）-[1+1]=n²+3n，故③不正確．
由于△²a_n=2（n+1）+2-（2n+2）=2，∴{△²a_n}是首項為2，公差為0的等差數列，{△²a_n}的前2014項之和為 2×2014=4028，故④正確．

點評：本小題以新定義為載體主要考查等差數列、等比數列的定義的基礎知識，考查觀察、猜想并進行證明的數學思想方法，還考查了把新的定義轉化為利用所學知識進行求解的能力．