Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=1，S_n+1=4a_n+2
（1）設(shè)b_n=a_n+1-2a_n，證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）令c_n=

an

2n-1

，求c_n及數(shù)列a_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）依題意，可求得b₁=a₂-2a₁=3，a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n），即b_n+1=2b_n，從而可證數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列；
（2）由（1）知等比數(shù)列{b_n}中b₁=3，公比q=2，可求得

an+1

2n+1

-

an

2n

=

3

4

，知數(shù)列{

an

2n

}是首項為

1

2

，公差為

3

4

的等差數(shù)列，于是可求得

an

2n

=

1

2

+（n-1）×

3

4

=

3

4

n-

1

4

，而C_n=

an

2n-1

，于是可求C_n及a_n．

解答： 證明：（1）由已知有a₁+a₂=4a₁+2，解得a₂=3a₁+2=5，
故b₁=a₂-2a₁=3，
又a_n+2=S_n+2-S_n+1=4a_n+1+2-（4a_n+2）=4a_n+1-4a_n，
于是a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n），即b_n+1=2b_n，
因此數(shù)列{b_n}是首項為3，公比為2的等比數(shù)列．
（2）由（1）知等比數(shù)列{b_n}中b₁=3，公比q=2，
所以a_n+1-2a_n=3×2^n-1，于是

an+1

2n+1

-

an

2n

=

3

4

，
因此數(shù)列{

an

2n

}是首項為

1

2

，公差為

3

4

的等差數(shù)列，

an

2n

=

1

2

+（n-1）×

3

4

=

3

4

n-

1

4

，
∴C_n=

an

2n-1

=

2an

2n

=2（

3

4

n-

1

4

）=

3

2

n-

1

2

，
∴a_n=（3n-1）•2^n-2．

點評：本題考查數(shù)列遞推關(guān)系的應(yīng)用與等比關(guān)系的確定，由b_n=a_n+1-2a_n=3×2^n-1，得到

an+1

2n+1

-

an

2n

=

3

4

是關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化思想與運算能力，屬于中檔題．