Question

已知四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2的菱形，且∠ABC=60°，PA=PC=2，PB=PD．
（Ⅰ）若O是AC與BD的交點，求證：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若點M是PD的中點，求異面直線AD與CM所成角的余弦值．

Answer 1

證明：（Ⅰ）連接AC與BD交于點O，連OP．
∵PA=PC，PD=PB，且O是AC和BD的中點，
∴PO⊥AC，PO⊥BD
∴PO⊥平面ABCD．
（Ⅱ）取PA的中點N，連接MN，則MN∥AD，
則∠NMC就是所求的角，
根據題意得MN=1，NC=

3

，PD=

6

所以，MC=

PC2-PM2

=

4- 6 4

=

10

2

故cos∠NMC=

MN2+MC2-NC2

2MN•MC

=

10

20