Question

已知集合M={（x₁，y₁）|y=f（x）}，若?（x₁，y₁）∈M，?（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，則稱(chēng)集合M是“�！奔�．給出下列四個(gè)集合：
①M(fèi)={（x，y）|y=x+

1

x

}；      
②M={（x，y）|y=cosx}；
③M={（x，y）|y=ln（x+2）}      
④M={（x，y）|y=3^x}．
其中是“Γ”集的編號(hào)是

 

．（寫(xiě)出所有是“�！奔�的編號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象

專(zhuān)題：新定義,數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題定義了一個(gè)新集合，考查的知識(shí)點(diǎn)是借助函數(shù)圖象性質(zhì)考查集合的概念，屬于元素與集合關(guān)系的判斷．要證明結(jié)論正確，對(duì)A（x₁，y₁）∈M，只要存在B（x₁，x₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，只要

OA

⊥

OB

即可．要說(shuō)明結(jié)論正確，需要證明，否則，舉個(gè)反例即可．
對(duì)于①根據(jù)函數(shù)圖象，圖象夾在兩條漸近線x=0和y=x之間，即可判斷結(jié)論不準(zhǔn)確．
對(duì)于②，畫(huà)出圖象，說(shuō)明滿(mǎn)足“Γ”集合的定義，即可判斷正確；
對(duì)于③畫(huà)出函數(shù)圖象，說(shuō)明滿(mǎn)足“Γ”集合的定義，即可判斷正誤；
對(duì)于④取點(diǎn)A（0，1），不存在點(diǎn)B使得

OA

⊥

OB

，結(jié)論不正確．

解答： 解：對(duì)于①y=x+

1

x

的圖象是以y軸和直線y=x為漸近線的曲線，漸近線的夾角為45°，如圖（1）

在同一支上，任意（x₁，y₁）∈M，不存在（x₂，y₂）∈M，滿(mǎn)足“�！奔�合的定義；
對(duì)任意（x₁，y₁）∈M，在另一支上也不存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，
即

OA

⊥

OB

的兩點(diǎn)不存在，所以不滿(mǎn)足Γ集合的定義，不是“�！奔�合．
對(duì)于②M={（x，y）|y=cosx}，如圖（2），

對(duì)于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，
使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，即

OA

⊥

OB

的兩點(diǎn)總存在．例如M（0，1）、N（ x，0），∠MON=90°，滿(mǎn)足Γ集合的定義，旋轉(zhuǎn)90°，都能在圖象上找到滿(mǎn)足題意的點(diǎn)，所以M是Γ集合；
對(duì)于③M={（x，y）|y=ln（x+2）}，如圖象（3），

可以看出，M是Γ集合，所以③正確                      
對(duì)于④M═{（x，y）|y=3^x}，如圖（4），

可以證明不滿(mǎn)足Γ集合的定義，如點(diǎn)A（0，1），則B（x，0）應(yīng)在x軸上，可以證明正確．
故答案：②③

點(diǎn)評(píng)：本題考查Γ集合的定義，畫(huà)出函數(shù)的圖象，注意到對(duì)于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，是本題解答的關(guān)鍵，函數(shù)的基本性質(zhì)的考查．