Question

8．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，且|F₁F₂|=2c，若橢圓上存在點(diǎn)M使得$\frac{a}{sin∠M{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{c}{sin∠M{F}_{2}{F}_{1}}$，則該橢圓離心率的取值范圍為（　　）

• A． （0，$\sqrt{2}$-1）
• B． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）
• C． （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• D． （$\sqrt{2}$-1，1）

Answer 1

分析 在△MF₁F₂中，運(yùn)用正弦定理，結(jié)合條件可得$\frac{c}{a}$=$\frac{|M{F}_{1}|}{|M{F}_{2}|}$=$\frac{2a-|M{F}_{2}|}{|M{F}_{2}|}$，由a-c＜|MF₂|＜a+c，運(yùn)用離心率公式和不等式的解法，即可得到所求范圍．

解答 解：在△MF₁F₂中，由正弦定理可得，
$\frac{|M{F}_{1}|}{sin∠M{F}_{2}{F}_{1}}$=$\frac{|M{F}_{2}|}{sin∠M{F}_{1}{F}_{2}}$，
又$\frac{a}{sin∠M{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{c}{sin∠M{F}_{2}{F}_{1}}$，
即有$\frac{c}{a}$=$\frac{|M{F}_{1}|}{|M{F}_{2}|}$=$\frac{2a-|M{F}_{2}|}{|M{F}_{2}|}$，
解得|MF₂|=$\frac{2{a}^{2}}{a+c}$，
由于a-c＜|MF₂|＜a+c，
即有（a-c）（a+c）＜2a²＜（a+c）²，
即為a²-c²＜2a²，顯然成立；
又$\sqrt{2}$a＜a+c，即有c＞（$\sqrt{2}$-1）a，
則離心率e=$\frac{c}{a}$∈（$\sqrt{2}$-1，1）．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率的求法，同時(shí)考查三角形的正弦定理，以及運(yùn)算能能力，屬于中檔題．