Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

3

cos²ωx+sinωxcosωx+a（其中ω＞0，a∈R），且f（x）的圖象在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

π

12

．
（1）求ω的值；   
（2）如果f（x）在區(qū)間[-

π

6

，

5π

12

]上的最小值為

3

，求a的值；
（3）證明：直線(xiàn)5x-2y+c=0與函數(shù)y=f（x）的圖象不相切．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，求出周期，利用周期公式求ω；
（2）利用（1）的解析式求2x+

π

3

的范圍；
（3）對(duì)f（x）求導(dǎo)，得到曲線(xiàn)切線(xiàn)范圍，與直線(xiàn)斜率比較，得到答案．

解答： 解：（1）f（x）=

3

×

1+cos2ωx

2

+

1

2

sin2ωx+a=

1

2

sin2ωx+

3

2

cos2ωx+

3

2

+a=sin（2ωx+

π

3

）+

3

2

+a，由題意，2ω×

π

12

+

π

3

=

π

2

，所以ω=1；
（2）由（1）知，f（x）=sin（2x+

π

3

）+

3

2

+a，
∵x∈[-

π

6

，

5π

12

]，∴2x+

π

3

∈[0，

7π

6

]，
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

3

）≤1，
∴f（x）在區(qū)間[-

π

6

，

5π

12

]上的最小值為-

1

2

+

3

2

+a=

3

，解得a=

1+ 3

2

；
（3）∵f′（x）=2cos（2x+

π

3

）
∴|f′（x）|≤2，∴曲線(xiàn)y=f（x）的切線(xiàn)斜率的取值范圍是[-2，2]，
而直線(xiàn)的切線(xiàn)斜率=

5

2

＞2，
∴直線(xiàn)5x-2y+c=0與函數(shù)y=f（x）的圖象不相切．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)解析式的化簡(jiǎn)以及最值求法，關(guān)鍵是正確利用倍角公式等化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，屬于中檔題．