Question

已知函數(shù)h（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在區(qū)間[1，2]上有最大值2和最小值0．設(shè)f(x)=

h(x)

2x

．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若方程f（x）=t-2在x∈[

1

2

，3]有實(shí)根，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（III）若不等式f（2^x）-t•2^x≤0在x∈[-1，2]恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）確定函數(shù)h（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，利用函數(shù)h（x）在區(qū)間[1，2]上有最大值2和最小值0，建立方程，即可求得a、b的值；
（Ⅱ）方程f（x）=t-2在x∈[

1

2

，3]有實(shí)根，等價(jià)于t=x+

1

x

在x∈[

1

2

，3]有實(shí)根，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（III）不等式f（2^x）-t•2^x≤0在x∈[-1，2]恒成立，等價(jià)于t≥（

1

2x

）²-

2

2x

+1在x∈[-1，2]恒成立，求出右邊對應(yīng)的最大值，即可確定實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)h（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）的對稱軸為x=1且圖象開口向上
∴函數(shù)h（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，
∵函數(shù)h（x）在區(qū)間[1，2]上有最大值2和最小值0，
∴

h(1)=0 h(2)=2

，∴

-a+1+b=0 1+b=2

∴a=2，b=1；
（Ⅱ）方程f（x）=t-2在x∈[

1

2

，3]有實(shí)根，等價(jià)于t=x+

1

x

在x∈[

1

2

，3]有實(shí)根，
∵t=x+

1

x

在[

1

2

，1]上單調(diào)遞減，在[1，3]上單調(diào)遞增
∴t=x+

1

x

∈[2，

10

3

]；
（III）不等式f（2^x）-t•2^x≤0在x∈[-1，2]恒成立，等價(jià)于t≥（

1

2x

）²-

2

2x

+1在x∈[-1，2]恒成立，
令m=

1

2x

，則m∈[

1

4

，2]，t≥m²-2m+1在m∈[

1

4

，2]恒成立
令g（m）=m²-2m+1=（m-1）²，函數(shù)的對稱軸為m=1，∴g（m）在m∈[

1

4

，2]上的最大值為1
所以實(shí)數(shù)t的取值范圍為t≥1

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查函數(shù)的值域，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．