Question

【題目】如圖，多面體 ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，且平面ABCD⊥平面DCE．AF∥DE，且AF＝DE＝2，BF＝2．

（1）求證：AC⊥BE；

（2）若點F到平面DCE的距離為，求直線EC與平面BDE所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；

（2）.

【解析】

（1）由題意及勾股數可證得平面平面，再由面面垂直的性質可證DE與平面ABCD垂直,可得AC⊥DE，再結合菱形中的垂直證得平面，從而得到結論；

（2）設，連接.由（1）平面，則是在平面內的射影，可得與平面所成的角為.由點F到平面DCE的距離可得菱形中，，可求得OC，在中，可求得EC，則可得結果.

（1）∵，，

∴，

∴，即.

∵，，

∴.

∵平面平面，平面，平面平面，

∴平面，

∴AC⊥DE.①

∵四邊形為菱形，

∴. ②

由①②，且，

∴平面.

∴.

（2）設，連接.

由（1）平面，∴是在平面內的射影，

∴與平面所成的角為.

∵，平面，平面，

∴平面，

∴點到平面的距離等于點到平面的距離.

在平面內作，交延長線于.

∵平面平面，

∴平面，

∴.（或轉化為點到平面的距離）

∵，∴，

∴菱形中，，

∴.

在中，，

∴.

∴與平面所成角的正弦值為.