Question

20．若關(guān)于x的不等式e^x-ax-b≥0對任意實數(shù)x恒成立，則ab的最大值為（　�。�

• A． $\sqrt{e}$
• B． e²
• C． e
• D． $\frac{e}{2}$

Answer 1

分析 求出原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再分別討論a=0，a＜0，a＞0的情況，從而得出ab的最大值．

解答 解：令f（x）=e^x-ax-b，則f′（x）=e^x-a，
若a=0，則f（x）=e^x-b＞-b，要使f（x）≥0，
則b≤0，此時ab=0；
若a＜0，則f′（x）＞0，函數(shù)f（x）函數(shù)單調(diào)增，當(dāng)x→-∞時，f（x）→-∞，不可能恒有f（x）≥0；
若a＞0，由f′（x）=e^x-a=0，得極小值點x=lna，由f（lna）=a-alna-b≥0，得b≤a（1-lna），
ab≤a²（1-lna）．
令g（a）=a²（1-lna）．
則g′（a）=2a（1-lna）-a=a（1-2lna）=0，得極大值點a=${e}^{\frac{1}{2}}$，
而g（${e}^{\frac{1}{2}}$）=$\frac{e}{2}$，
∴ab的最大值為$\frac{e}{2}$．
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查了函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了導(dǎo)數(shù)在求最值中的應(yīng)用，滲透了分類討論思想，是中檔題．