Question

在直角坐標(biāo)平面中，已知點P₁（1，2），P₂（2，2²），P₃（3，2³），…，P_n（n，2ⁿ），其中n是正整數(shù)，對平面上任一點A，記A₁為A關(guān)于點P₁的對稱點，A₂為A₁關(guān)于點P₂的對稱點，…，A_n為A_n-1關(guān)于點P_n的對稱點．
（1）求向量的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點A在曲線C上移動時，點A₂的軌跡是函數(shù)y=f（x）的圖象，其中f（x）是以3為周期的周期函數(shù)，且當(dāng)x∈（0，3]時，f（x）=lgx．求以曲線C為圖象的函數(shù)在（1，4]上的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）若兩個點關(guān)于第三點對稱，則第三點為這兩個點的中點，所以先設(shè)出A的坐標(biāo)，利用對稱求出A₁坐標(biāo)，A₂坐標(biāo)，就可以得到向量的坐標(biāo)．
（2）先根據(jù)函數(shù)y=f（x）的周期性和x∈（0，3]時，f（x）的解析式求出x∈（3，6]時，f（x）的解析式，再把（1）中求出A₂點坐標(biāo)代入，化簡，即得當(dāng)x∈（1，4]時x，y滿足的關(guān)系式，即為以曲線C為圖象的函數(shù)在（1，4]上的解析式．
解答：解：（1）設(shè)A（x，y），∵A₁為A關(guān)于點P₁的對稱點，
∴A₁坐標(biāo)為（2-x，4-y）
∵A₂為A₁關(guān)于點P₂的對稱點，∴A₂坐標(biāo)為（2+x，4+y）
∴；
（2）∵f（x）是以3為周期的周期函數(shù)，且當(dāng)x∈（0，3]時，f（x）=lgx
∴當(dāng)x∈（3，6]時，f（x）=lg（x-3）
∵A₂的軌跡是函數(shù)y=f（x）的圖象，
∴當(dāng)2+x∈（3，6]時，4+y=lg（2+x-3）=lg（x-1），
即x∈（1，4]時，4+y=lg（x-1），y=lg（x-1）-4，
∴A（x，y）點滿足y=lg（x-1）-4．
∴當(dāng)x∈（1，4]時，g（x）=lg（x-1）-4．
點評：本題主要考查了中點坐標(biāo)公式的應(yīng)用，以及利用函數(shù)周期性求函數(shù)解析式的方法．