Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線與直線2x-y+1=0平行，求出這條切線的方程；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若對于任意的x∈（1，+∞），都有f（x）＜-2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ），
得切線斜率為k=f'（2）=2a+3，（2分）
據(jù)題設(shè)，k=2，所以，故有，（3分）
所以切線方程為y-f（2）=2（x-2），
即6x-3y-10=0，（4分）
（Ⅱ）
當(dāng)a=0時(shí)，，
由于x＞1，所以，
可知函數(shù)f（x）在定義區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，（6分）
當(dāng)a≠0時(shí)，，
若a＞0，則，
可知當(dāng)x＞1時(shí)，有f'（x）＞0，
函數(shù)f（x）在定義區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，（8分）
若a＜0，則，
得當(dāng)時(shí)，f'（x）＞0；
當(dāng)時(shí)，f'（x）＜0．
所以，函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增，
在區(qū)間上單調(diào)遞減．
綜上，當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是定義區(qū)間（1，+∞）；
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為，（10分）
（Ⅲ）當(dāng)a≥0時(shí)，考查f（2）=4a+2≥2＞0，不合題意，舍；
當(dāng)a＜0時(shí)，由（Ⅱ）知．
故只需，即．（11分）
令t=-a，則不等式為，且t＞0．
構(gòu)造函數(shù)，
則，
知函數(shù)g（t）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增．
因?yàn)間（1）=4ln1+3-2-1=0，所以當(dāng)t＞1時(shí)，g（1）＞0，
這說明不等式的解為t＞1，即得a＜-1．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-1）．（14分）
分析：（Ⅰ）由，得切線斜率為k=f'（2）=2a+3，據(jù)題設(shè)，k=2，所以，故有，由此能求出切線方程．
（Ⅱ）由，知當(dāng)a=0時(shí)，，由于x＞1，所以，由此能夠討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅲ）當(dāng)a≥0時(shí)，考查f（2）=4a+2≥2＞0，不合題意，舍；當(dāng)a＜0時(shí)，由（Ⅱ）知．故只需，即．由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．