Question

如圖，在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點(diǎn)，PA=AB=1，BC=2．
（1）求證：EF∥平面PAB；
（2）求證：平面PAD⊥平面PDC．
（3）求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由E、F分別是PC、PD的中點(diǎn)，可由三角形中位線定理得到EF∥CD，進(jìn)而根據(jù)底面是矩形，對(duì)邊平行得到EF∥AB，結(jié)合線面平行的判定定理得到EF∥平面PAB；
（2）由PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，可得PA⊥CD及AD⊥CD，進(jìn)而由線面垂直的判定定理得到DC⊥平面PAD，進(jìn)而由面面垂直的判定定理得到平面PAD⊥平面PDC；
（3）利用V_P-ABCD=

1

3

S_ABCD•PA，即可求出四棱錐P-ABCD的體積．

解答： （1）證明：∵E、F分別是PC、PD的中點(diǎn)，
∴EF∥CD．                    （2分）
∵底面ABCD是矩形，
∴CD∥AB．
∴EF∥AB．                  （4分）
又AB?平面PAB，EF?平面PAB，
∴EF∥平面PAB．               （7分）
（2）解：∵PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD
∴PA⊥CD．                    （8分）
∵底面ABCD是矩形，AD⊥CD．                                                          
又PA∩AD=A，AP?面PAD，AD?面PAD，
∴DC⊥平面PAD．                                                  
∵DC?平面PDC，
∴平面PAD⊥平面PDC．                                                   （10分）
（3）解：∵在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，BC=2，
∴V_P-ABCD=

1

3

S_ABCD•PA=

1

3

×1×2×1=

2

3

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，考查四棱錐的體積．其中（1）的關(guān)鍵是證得EF∥AB，（2）的關(guān)鍵是證得DC⊥平面PAD．