Question

8．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，α=$\frac{π}{4}$），以直角坐標(biāo)系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，且兩個坐標(biāo)系取相同的長度單位，建立極坐標(biāo)系．曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=4cosθ．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程：
（2）設(shè)直線1與曲線C相交于A、B兩點．求|AB|．

Answer 1

分析 （1）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出；
（2）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，代入拋物線方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$，即可得出．

解答 解：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=4cosθ，即ρ²sin²θ=4ρcosθ，可得直角坐標(biāo)方程：y²=4x．
（2）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，代入拋物線方程可得：${t}^{2}-4\sqrt{2}t$-8=0．
∴t₁+t₂=4$\sqrt{2}$，t₁t₂=-8，
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}-4×（-8）}$=8．

點評 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)、直線的參數(shù)方程的應(yīng)用、直線與拋物線相交弦長問題，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．