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已知橢圓C的兩個焦點分別為F1（-1，0），F2（1，0），拋物線E以坐標原點為頂點，F2為焦點．直線l過點F2，且交y軸于D點，交拋物線E于A，B兩點若F1B⊥F2B，則|AF2|-|BF2|=
4
4
．
分析：根據題意，求出拋物線方程為y2=4x．設B（s，t），可得
F 1B
、
F 2B
關于s、t的坐標形式，根據
F 1B
•
F 2B
=0列式可得（s+1）（s-1）+t2=0．因為s、t滿足t2=4s，所以聯解可得s=
5
-2（舍負）．然后根據拋物線的性質，算出A的橫坐標s′=
5
+2．最后由拋物線的定義分別算出|AF2|=
5
+3且|BF2|=（
5
-1），即可得到|AF2|-|BF2|的值．
解答：解：∵拋物線E以坐標原點為頂點，F2（1，0）為焦點，
∴設B（s，t），可得
F 1B
=（s+1，t），
F 2B
=（s-1，t），
∵F1B⊥F2B，
∴
F 1B
•
F 2B
=（s+1）（s-1）+t2=0，…（*）
∵點B在拋物線y2=4x上，可得t2=4s
∴方程（*）化簡成：s2+4s-1=0
解之得s=
5
-2（舍負），
根據拋物線的定義，可得|BF2|=s+
p
2
=
5
-2+1=
5
-1
設點A的坐標為（s′，t′），可得s′=
p2
4
s
=
1
5
-2
=
5
+2
∴|AF2|=s′+
p
2
=
5
+2+1=
5
+3
因此，|AF2|-|BF2|=
5
+3-（
5
-1）=4
故答案為：4
點評：本題給出拋物線和橢圓，給出拋物線的焦點弦AB，在已知F1B⊥F2B的情況下求|AF2|-|BF2|的值．著重考查了橢圓、拋物線的標準方程和簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C的兩個焦點為F1(-2
2
，0)，F2(2
2
，0)，P為橢圓上一點，滿足∠F1PF2=60°．
（1）當直線l過F1與橢圓C交于M、N兩點，且△MF2N的周長為12時，求C的方程；
（2）求△F1PF2的面積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網給定橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），稱圓心在坐標原點O，半徑為
a2+b2
的圓是橢圓C的“伴隨圓”．
（1）若橢圓C過點(
5
，0)，且焦距為4，求“伴隨圓”的方程；
（2）如果直線x+y=3
2
與橢圓C的“伴隨圓”有且只有一個交點，那么請你畫出動點Q（a，b）軌跡的大致圖形；
（3）已知橢圓C的兩個焦點分別是F1（-
2
，0）、F2（
2
，0），橢圓C上一動點M1滿足|
M1F1
|+|
M1F
2|=2
3
．設點P是橢圓C的“伴隨圓”上的動點，過點P作直線l1、l2使得l1、l2與橢圓C都各只有一個交點，且l1、l2分別交其“伴隨圓”于點M、N．當P為“伴隨圓”與y軸正半軸的交點時，求l1與l2的方程，并求線段|
MN
|的長度．

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科目：高中數學 來源： 題型：

給定橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），稱圓心在坐標原點O，半徑為
a2+b2
的圓是橢圓C的“伴隨圓”． 已知橢圓C的兩個焦點分別是F1(-
2
，0)、F2(
2
，0)，橢圓C上一動點M1滿足|
M1F1
|+|
M1F
2|=2
3
．
（Ⅰ）求橢圓C及其“伴隨圓”的方程
（Ⅱ）試探究y軸上是否存在點P（0，m）（m＜0），使得過點P作直線l與橢圓C只有一個交點，且l截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長為2
2
．若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•潮州二模）已知橢圓C的兩個焦點為F1（-1，0），F2（1，0），點A(1，
2
2
)在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點B（2，0），設點P是橢圓C上任一點，求
PF
1•
PB
的取值范圍．

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