已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=數(shù)學(xué)公式，（a≠0）
（1）若b=2，且h（x）=f（x）-g（x）在定義域上不單調(diào)，求a的取值范圍；
（2）若a=1，b=-2設(shè)f（x）的圖象C1與g（x）的圖象C2交于點P、Q，過線段PQ的中點作x軸的垂線分別交C1，C2于點M、N，M、N的橫坐標(biāo)是m，求證：f′（m）＜g′（m）．

（1）解：∵函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=，（a≠0），b=2，
∴h（x）=lnx--2x，x∈（0，+∞）
∵h（x）=f（x）-g（x）在定義域上不單調(diào)，
∴h'（x）=在（0，+∞）有實根，且不為重根
即ax2+2x-1=0在（0，+∞）有實根，且不為重根
∴a＞0或
∴a＞0或-1＜a＜0
∴a的取值范圍是（-1，0）∪（0，+∞）．
（2）證明：f'（x）=，g'（x）=x-2
設(shè)P（x1，y1） Q（x2，y2），且x1＜x2
PQ中點為（），只要證明-2
又只要證明：
只要證明：
令，只要證明：，t∈（1，+∞）
令F（t）=lnt-，則F'（t）＞0，所以F（t）在（1，+∞）范圍內(nèi)為增函數(shù)
又F（1）=0，所以F（t）＞0在（1，+∞）范圍內(nèi)恒成立；
故得證．
分析：（1）h（x）=f（x）-g（x）在定義域上不單調(diào)，等價于h'（x）=0在（0，+∞）有實根，且不為重根，由此可求a的取值范圍；
（2）利用分析法證明，設(shè)P（x1，y1） Q（x2，y2），且x1＜x2，證明f′（m）＜g′（m），只要證明-2即可．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當(dāng)a=1時，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點，求k的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當(dāng)x0=
x1+x2
2
時，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當(dāng)x≥e時，對于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結(jié)論．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2012的值為（　　）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點；
（Ⅱ）若直線l過點（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當(dāng)x＞0時，函數(shù)在（0，
6
）上單調(diào)遞減，在（
6
，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經(jīng)過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案