Question

已知向量

a

=(

3

，cosωx)，

b

=(sinωx，1)（ω＞0），函數(shù)f（x）=

a

•

b

，且最小正周期為4π．
（1）求ω的值；
（2）設(shè)α，β∈[

π

2

，π]，f(2α-

π

3

)=

6

5

，f(2β+

2π

3

)=-

24

13

，求sin（α+β）的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的兩個(gè)向量的坐標(biāo)和函數(shù)的表示式，根據(jù)兩個(gè)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)形式寫出三角函數(shù)式，利用輔助角公式寫出最簡(jiǎn)形式，利用周期求出ω．
（2）根據(jù)所給的α，β∈[

π

2

，π]，寫出的α，β范圍，根據(jù)f(2α-

π

3

)=

6

5

，求出sinα，cosα，以及sinβ，cosβ，利用兩角和的正弦函數(shù)求解sin（α+β）的值．

解答：解：（1）向量

a

=(

3

，cosωx)，

b

=(sinωx，1)（ω＞0），
函數(shù)f（x）=

a

•

b

=

3

sinωx+cosωx=2sin（ωx+

π

6

），
∴函數(shù)的周期為T=

2π

ω

=4π，
∴ω=

1

2

．
（2）由（1），可知，f（x）=2sin（

1

2

x+

π

6

），
則f(2α-

π

3

)=2sin[(α-

π

6

)+

π

6

]=2sinα=

6

5

．
∴sinα=

3

5

，
又α∈[

π

2

，π]，
∴cosα=-

1-sin2α

=-

4

5

，
又f(2β+

2π

3

)=-

24

13

，
∴2sin[(β+

π

3

)+

π

6

]=2sin(β+

π

2

)=2cosβ=-

24

13

∴cosβ=-

12

13

，
又β∈[

π

2

，π]，∴sinβ=

1-cos2β

=

5

13

，
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=

3

5

×(-

12

13

)+(-

4

5

)×

5

13

=-

56

65

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．