Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若關(guān)于的不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的值；

（2）設(shè)，若不等式對(duì)都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若且時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1），．（2）（3）見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系列方程組，解方程組求得的值.

（2）將不等式轉(zhuǎn)化為，求得左邊函數(shù)的最小值，由此解一元二次不等式求得的取值范圍.

（3）利用判別式進(jìn)行分類討論，結(jié)合函數(shù)的定義域，求得函數(shù)的零點(diǎn).

（1）因?yàn)椴坏仁?/span>的解集為，所以-3,1為方程的兩個(gè)根，

由根與系數(shù)的關(guān)系得

，即，．

（2）當(dāng)時(shí)，，

因?yàn)椴坏仁?/span>對(duì)都成立，

所以不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立．

令，

所以．

當(dāng)時(shí)，，

所以，即，得或，

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．

（3）當(dāng)時(shí)，，

函數(shù)的圖像是開(kāi)口向上且對(duì)稱軸為的拋物線，

．

①當(dāng)，即時(shí)，恒成立，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)．

②當(dāng)，即或時(shí)，

（ⅰ）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)無(wú)零點(diǎn)．

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)有零點(diǎn)3．

③當(dāng)，即或時(shí)，令，得

，

．

（ⅰ）當(dāng)時(shí)，得，此時(shí)，

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)．

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，得，此時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)：，．

綜上所述：當(dāng)，時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；

當(dāng)，時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)為3；

當(dāng)，時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)：，．