Question

3．已知函數(shù)f（x）=x|x+m|-4，m∈R
（1）若g（x）=f（x）+4為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）當(dāng)m=-3時(shí)，求函數(shù)f（x）在x∈[2，4]上的值域；
（3）若f（x）＜0對(duì)x∈（0，1]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡(jiǎn)g（x）=f（x）+4=x|x+m|，從而可得-x|-x+m|=-x|x+m|，化簡(jiǎn)可得mx=0對(duì)x∈R恒成立，從而解得；
（2）當(dāng)m=-3時(shí)，化簡(jiǎn)$y=f（x）=x|x-3|-4=\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}-3x-4，x∈[3，4]}\\{-{x^2}+3x-4，x∈[2，3）}\end{array}}\right.$，從而利用分段函數(shù)的求值域；
（3）化簡(jiǎn)可得x|x+m|-4＜0，從而可得$-\frac{4}{x}＜x+m＜\frac{4}{x}$，令$h（x）=-（x+\frac{4}{x}）$，則h（x）在（0，1]上是增函數(shù)，再令$t（x）=\frac{4}{x}-x$，則t（x）在（0，1]上是減函數(shù)，從而求最值，從而解得．

解答 解：（1）g（x）=f（x）+4=x|x+m|，
∵函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，∴g（-x）=-g（x）
∴-x|-x+m|=-x|x+m|，
即x（|x+m|-|x-m|）=0對(duì)x∈R恒成立，
∴|x+m|-|x-m|=0對(duì)x∈R恒成立，
即（x+m）²=（x-m）²對(duì)x∈R恒成立，
即mx=0對(duì)x∈R恒成立，
∴m=0；
（2）當(dāng)m=-3時(shí)，
$y=f（x）=x|x-3|-4=\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}-3x-4，x∈[3，4]}\\{-{x^2}+3x-4，x∈[2，3）}\end{array}}\right.$，
當(dāng)x∈[3，4]時(shí)，y=x²-3x-4在[3，4]上為增函數(shù)，
∴y∈[-4，0]；
當(dāng)x∈[2，3）時(shí)，y=-x²+3x-4在[2，3）上為減函數(shù)，
∴y∈（-4，-2]；
∴函數(shù)f（x）在x∈[2，4]上的值域[-4，0]∪（-4，-2]=[-4，0]；
（3）f（x）＜0即為x|x+m|-4＜0，
∵x∈（0，1]，∴$|x+m|＜\frac{4}{x}$，
即$-\frac{4}{x}＜x+m＜\frac{4}{x}$，
即$-（x+\frac{4}{x}）＜m＜\frac{4}{x}-x$對(duì)x∈（0，1]恒成立，
令$h（x）=-（x+\frac{4}{x}）$，則h（x）在（0，1]上是增函數(shù)，
∴h（x）_max=h（1）=-5，
∴m＞-5；
再令$t（x）=\frac{4}{x}-x$，則t（x）在（0，1]上是減函數(shù)，
∴t（x）_min=t（1）=3，
∴m＜3，
綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是-5＜m＜3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了恒成立問題及最值問題．