Question

14．已知f（x）=e^x-x，求過原點(diǎn)與f（x）相切的直線方程y=（e-1）x．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式設(shè)出切點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)設(shè)出的切點(diǎn)坐標(biāo)和原點(diǎn)求出切線的斜率，同時(shí)由f（x）求出其導(dǎo)函數(shù)，把切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)中即可表示出切線的斜率，兩次求出的斜率相等列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，進(jìn)而得到切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)切點(diǎn)坐標(biāo)和切線過原點(diǎn)寫出切線方程即可．

解答 解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（a，e^a-a），又切線過（0，0），得到切線的斜率k=$\frac{{e}^{a}-a}{a}$，
又f′（x）=e^x-1，把x=a代入得：斜率k=f′（a）=e^a-1，則e^a-1=$\frac{{e}^{a}-a}{a}$，由于e^a＞0，則得到a=1，
即切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，e-1），
所以切線方程為：y-e+1=（e-1）（x-1）．即y=（e-1）x．
故答案為：y=（e-1）x

點(diǎn)評(píng) 此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程，注意要區(qū)別在某點(diǎn)處的切線，解題的關(guān)鍵是確定切點(diǎn)，本題是一道中檔題．