Question

設(shè)函數(shù)．
（1）當(dāng)方程f（x）=0只有一個實數(shù)解時，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）若m＞0且當(dāng)x∈[1-m，3]時，恒有f（x）≤0，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）將f（x）提取公因式x，要使方程f（x）=0只有一個實數(shù)解時，令f（x）的另一個因式的判別式小于0，求出m的范圍．
（2）將問題轉(zhuǎn)化為求y=f（x）在∈[1-m，3]的最大值問題，求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于0，求出單調(diào)遞增區(qū)間，通過對3與1+m的大小的討論，求出f（x）的最大值，令最大值小于等于0，求出m的范圍．
解答：解：（1）=
方程f（x）=0只有一個實數(shù)解，沒有實數(shù)解．
∴，解得．
所以，當(dāng)方程f（x）=0只有一個實數(shù)解時，實數(shù)m的取值范圍是
（2）由f′（x）=-x²+2x+m²-1=-（x-m-1）（x+m-1）
因為m＞0所以1+m＞1-m
f（x）在（-∞，1-m）和（1+m，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，
在（1-m，1+m）內(nèi)單調(diào)遞增．
（1）當(dāng)3＜1+m，即m＞2時，f（x）在區(qū)間[1-m，3]上是增函數(shù)，
f（x）_max=f（3）=3m²-3
∴無解．
（2）當(dāng)1+m≤3，即0＜m≤2時，f（x）在區(qū)間[1-m，1+m]上是增函數(shù)，在（1+m，+∞）上是減函數(shù)，
∴
∴解得
綜上所述，m的取值范圍為
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)在最大值與最小值問題中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，判斷出函數(shù)的最值，本題第二小題是一個恒成立的問題，恒成立的問題一般轉(zhuǎn)化最值問題來求解，本題即轉(zhuǎn)化為用單調(diào)性求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的問題，求出最值再判斷出參數(shù)的取值．本題運算量過大，解題時要認(rèn)真嚴(yán)謹(jǐn)，避免變形運算失誤，導(dǎo)致解題失�。�