Question

設函數(shù)f（x）=x²-ax+2lnx，其中a＞0
（1）當a＜4時，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）當a=5時，求函數(shù)f（x）的極值；
（3）證明：當x≥1時，x²+2lnx≥3x-2．

Answer 1

分析：（1）求出導數(shù)f′（x），當a＜4時，判斷出f′（x）符號即可．
（2）當a=5時，先解f′（x）=0，再判斷根左右兩側導數(shù)的符號變化，由此即可得出答案．
（3）當x≥1時，x²+2lnx≥3x-2可變?yōu)閤²+2lnx-3x≥-2，從而問題可轉化為求當a=3時f（x）在[1，+∞）的最小值問題．

解答：解：定義域為：（0，+∞），
（1）f′(x)=2x-a+

2

x

．
因為x＞0，所以2x+

2

x

≥2

2x• 2 x

=4，
又a＜4，所以f'（x）＞0，
故當a＜4時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（2）當a=5時，f′（x）=2x-5+

2

x

=

2x2-5x+2

x

=

(2x-1)(x-2)

x

，
令f′（x）=0，得x=

1

2

或x=2．
當x∈(0，

1

2

)時，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當x∈(

1

2

，2)時，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當x∈（2，+∞）時，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
由上可知，當x=

1

2

時，f（x）取極大值f（

1

2

）=-

9

4

-2ln2；
當x=2時，f（x）取極小值f（2）=2ln2-6．
（3）即證：當x≥1時，x²+2lnx-3x≥-2，
由（1）知，當a=3時，f（x）=x²+2lnx-3x在（0，+∞）上是增函數(shù)，
僅當x=1時，f（x）在區(qū)間[1，+∞）上有最小值f（1）=-2，所以當x≥1時，x²+2lnx-3x≥-2成立，
即x²+2lnx≥3x-2．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用：用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題，要深刻理解導數(shù)在研究函數(shù)中的作用．