Question

19．設(shè)函數(shù)f_n（θ）=sinⁿθ+cosⁿθ，n∈N^*，且f₁（θ）=a，其中常數(shù)a為區(qū)間（0，1）內(nèi)的有理數(shù)．
（1）求f_n（θ）的表達(dá)式（用a和n表示）
（2）求證：對(duì)任意的正整數(shù)n，f_n（θ）為有理數(shù)．

Answer 1

分析 （1）利用sinθ+cosθ=a，sin²θ+cos²θ=1，求出sinθ，可得f_n（θ）的表達(dá)式（用α和n表示）
（2）利用二項(xiàng)式的展開式，即可得出結(jié)論．

解答 （1）解：由題意，sinθ+cosθ=a，sin²θ+cos²θ=1，
所以2sin²θ-2asinθ+a²-1=0，
所以sinθ=$\frac{a±\sqrt{2-{a}^{2}}}{2}$，
所以f_n（θ）=（$\frac{a+\sqrt{2-{a}^{2}}}{2}$^）n+（$\frac{a-\sqrt{2-{a}^{2}}}{2}$^）n；
（2）證明：f_n（θ）=（$\frac{a+\sqrt{2-{a}^{2}}}{2}$^）n+（$\frac{a-\sqrt{2-{a}^{2}}}{2}$^）n
=2${C}_{n}^{0}$•$（\frac{a}{2}）^{n}$+2${C}_{n}^{2}$•$（\frac{a}{2}）^{n-2}•\frac{2-{a}^{2}}{4}$+…+…∈Q．

點(diǎn)評(píng) 本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系，考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．