Question

已知函數(shù)f(x)=cosx+kcos(x-

π

3

)(k為常數(shù))，將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

2π

3

個單位所得到的函數(shù)圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O．
（1）求k的值；
（2）求y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）利用y=f(x)經(jīng)過點(diǎn)(-

2π

3

，0)，求得方程，求出k的值．
（2）通過（1）化簡化簡的表達(dá)式，利用兩角差的正弦函數(shù)化為一個角的一個三角函數(shù)的形式，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．

解答：解：（1）依題意y=f(x)經(jīng)過點(diǎn)(-

2π

3

，0)，則cos(-

2π

3

)+k•cos(-π)=0，
求得k=-

1

2

…（6分）
（2）f(x)=cosx-

1

2

cos(x-

π

3

)

=cosx- 1 2 (cosxcos π 3 +sinx•sin π 3 ) =- 3 2 (sinxcos π 3 -cosxsin π 3 ) =- 3 2 sin(x- π 3 ) 在2kπ+ π 2 ≤x- π 3 ≤2kπ+ 3π 2 時，y=f(x)遞增.

即y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ+

5π

6

，2kπ+

11π

6

](k∈z)．…（12分）

點(diǎn)評：本題是基礎(chǔ)題，考查點(diǎn)的坐標(biāo)適合曲線方程，利用基本函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的單調(diào)性，考查計算能力，正確化簡函數(shù)的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵．