Question

14．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊邊長分別為a，b，c，且a，b，c成等比數(shù)列．
（1）若sinA，sinB，sinC 成等差數(shù)列，試判斷△ABC的形狀；
（2）若B=30°，S_△ABC=$\frac{3}{2}$，求b．

Answer 1

分析 （1）通過a、b、c成等差數(shù)列可得b=$\frac{a+c}{2}$，通過sinA，sinB，sinC成等比數(shù)列并利用正弦定理可得b×b=a×c，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；
（2）通過S_△ABC=$\frac{1}{2}•ac•sinB$可得ac=6，結(jié)合2b=a+c并利用余弦定理計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）結(jié)論：△ABC為等邊三角形．
理由如下：
∵a，b，c成等差數(shù)列，
∴2b=a+c，∴b=$\frac{a+c}{2}$，
∵sinA，sinB，sinC成等比數(shù)列，
∴sinB×sinB=sinA×sinC，
又∵$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，
∴b×b=a×c，
∴（$\frac{a+c}{2}$）²=ac，
即：（a-c）²=0，
∴a=c=$\frac{a+c}{2}$=b，
∴△ABC為等邊三角形；
（2）∵B=30°，S_△ABC=$\frac{3}{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}•ac•sinB$=$\frac{1}{2}$ac•sin30°=$\frac{ac}{4}$=$\frac{3}{2}$，
∴ac=6，
又∵2b=a+c，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$
=$\frac{（a+c）^{2}-2ac-^{2}}{2ac}$
=$\frac{4^{2}-2ac-^{2}}{2ac}$
=$\frac{3^{2}-2ac}{2ac}$
=$\frac{3^{2}-12}{12}$
=cos30°
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴b=$\sqrt{3}+1$或-（$\sqrt{3}+1$）（舍），
∴b=$\sqrt{3}+1$．

點(diǎn)評 本題是一道數(shù)列與三角函數(shù)的綜合題，涉及等比、等差數(shù)列，正弦、余弦定理，三角形面積公式等基礎(chǔ)知識，注意解題方法的積累，屬于中檔題．