△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，給出下列三個敘述：
①a：b：c=sinA：sinB：sinC
②a：b：c=cosA：cosB：cosC
③a：b：c=A：B：C
以上三個敘述中能作為“△ABC是等邊三角形”的充分必要條件的個數(shù)為（　　）
分析：根據(jù)正弦定理和三角公式進(jìn)行推理和證明即可．
解答：解：①根據(jù)正弦定理可知對任意三角形都有a：b：c=sinA：sinB：sinC，成立，∴△ABC不一定是等邊三角形．
②若a：b：c=cosA：cosB：cosC，則由正弦定理得a：b：c=sinA：sinB：sinC，
∴a：b：c=sinA：sinB：sinC=cosA：cosB：cosC，
即
sinA
cosA
=
sinB
cosB
=
sinC
cosC
，即tanA=tanB=tanC，
∴A=B=C，∴△ABC是等邊三角形，正確．
③由正弦定理 a：b=sinA：sinB 及條件 a：b=A：B，得 A：B=sinA：sinB，
∴sinA：A=sinB：B=sinC：C．
即
sinA
A
=
sinB
B
=
sinC
C
，
設(shè)函數(shù)f（x）=
sinx
x
，x∈（0，π） 則f（x）的導(dǎo)數(shù)f'（x）=
xcosx-sinx
x2
，
x∈（0，π）時，總有 x cosx-sinx＜0，
故f（x）是區(qū)間（0，π）上單調(diào)遞減的函數(shù)，
∴若f（A）=f（B）=f（C），
則A=B=C，從而三角形是正三角形．
故正確的是②③．
故選：C．
點評：本題主要考查充分條件和必要條件的應(yīng)用，利用正弦定理是解決本題的關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a，b，c分別是△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，若a=1，b=
3
，A+C=2B，則sinC=（　�。�
A、0B、2C、1D、-1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

△ABC的三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a，b，c，給出下列命題：
①若sinBcosC＞-cosBsinC，則△ABC一定是鈍角三角形；
②若sin2A+sin2B=sin2C，則△ABC一定是直角三角形；
③若bcosA=acosB，則△ABC為等腰三角形；
④在△ABC中，若A＞B，則sinA＞sinB；
其中正確命題的序號是
②③④
②③④
．（注：把你認(rèn)為正確的命題的序號都填上）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a，b，c成等比數(shù)列
（1）若sinC=2sinA，求cosB的值；
（2）求角B的最大值．并判斷此時△ABC的形狀．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a，b，c分別為△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊，
m
=(-
3
，sinA)，
n
=(cosA，1)，且
m
⊥
n
．
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）若a=2，△ABC的面積為
3
，求b，c．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a，b，c分別是△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，若a=1，b=
3
，B=60°，則sinC=
1
1
．

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